Решение:

Пусть дана дробь а/в ; где а >в, в>о. Увеличивая числитель дроби на 1, а знаменатель - на 10, получаем (а+1)/(в+10).

Проверим условие задачи, полагая а/в<(а+1)/(в+10).

Откуда (ав+10а-ав-в)/(в(в+10)).

Последнее неравенство равносильно неравенству

в(10а-в) (в+10)<0.

Учитывая, что в >0, а следовательно, в+10>0, получаем 10а-в<0, т.е. 10а<в.

Значит, условию задачи соответствуют дроби, у которых числитель и знаменатель находятся в соотношении 10а<в.

Например, дробь 1/11, из которой после указанных преобразований получаем дробь 2/21, причём 1/11<2/21.

Задача 5. Подряд написаны числа 1,2,3,4,5,...,2000. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычеркивают. Из оставшихся 1000 чисел снова вычеркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают, пока не останется одно число. Что это за число?

Решение:

После первого вычеркивания останется 1000 четных чисел: 2,4,6,8,10,12,..., 2000.

После второго – числа кратные 4. Таких чисел 500: 4,8,12, ..., 2000.

После третьего – останутся числа, кратные 8. Таких 250.

После четвертого зачеркивания останется 125 чисел, кратных 16.

Пятое зачеркивание оставит числа последнего ряда, стоящие на нечетных местах, после чего останется 62 числа, кратных 32.

Шестое зачеркивание оставит 31 число, кратное 64.

Седьмое – 15 чисел, кратных 128.

Восьмое – 7 чисел, кратных 256.

Девятое – 3 числа, кратные 512.

Последним будет десятое зачеркивание, после которого останется число 1024.

Задача 6. Существует ли выпуклый 2000-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

Решение:

Сумма внешних углов любого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине равна 360. Поэтому внешние углы 2000-угольника не могут быть выражены целым числом, а следовательно, не могут быть выражены целым числом и градусные меры внутренних углов.

Примечание: Аналогичные рассуждения можно провести, вычислив сумму внутренних углов: наибольшие, выраженные целым числом внутренние углы могут быть равны 179. Тогда их наибольшая «целая» сумма

179·2000=358000.

Но сумма углов выпуклого 2000-угольника равна

180·(2000-2)=359640.

Таким образом, выпуклый 2000-угольник должен иметь внутренние углы и большие 179.

Задача 7. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные, и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

Решение:

Разобьем монеты на три кучки: А, Б и В, содержание 10, 10 и 20 монет соответственно. Сравним массы А и Б. Могут иметь место два варианта:

1) Массы кучек А и Б равны. Это означает, что либо в каждой кучке по одной фальшивой монете, либо ни в одной из них фальшивых монет нет. Тогда сравним массы А+Б и В. Если масса А+Б меньше, то В – искомая кучка. Если масса А+Б больше, то ни в А, ни в Б нет фальшивых монет и искомая кучка – А+Б. Случай равенства, очевидно, невозможен.

2) Масса кучки А больше массы кучки Б (противоположный случай аналогичен). Тогда монеты в А заведомо настоящие, а в Б есть хоть одна фальшивая. Поэтому в кучке В не более одной фальшивой монеты. Теперь разобьем В на две половины: в той, которая тяжелее нет фальшивых монет; эта половина вместе с А является искомой кучкой.

Задача 8. Дан остроугольный треугольник АВС. Окружность с центром на середине стороны ВС пересекает стороны АБ и АС в точках D и Е соответственно. Оказалось, что АD=АЕ. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.