Решение:

Задача имеет три решения:

Задача 7.На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и Б. Туземец А произнес фразу: «По крайней мере, один из нас (А и Б) – лжец». Можно ли сказать, кем является А и кем является Б (рыцарем или лжецом)?

Решение

Если А – лжец, то его утверждение неверно, т.е. оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – рыцарь. Тогда его утверждение верно и, следовательно, Б – лжец.

Задача 8. По дороге едут автомобили: на запад - «Москвич» и «Жигули» с равными между собой скоростями, а на восток - «Мерседес» и БМВ с равными между собой скоростями. «Москвич» встретился с БМВ с 12⁰⁰, «Жигули с БМВ - в 15⁰⁰, «Москвич» и «Мерседес» - в 14⁰⁰. Когда встретились «Жигули» и «Мерседес»?

Решение

Расстояние между автомобилями БМВ и «Мерседес» и их скорости не меняются, а скорости «Москвича» и «Жигулей» равны. «Москвич» встретил «Мерседес» через 2 часа после БМВ, значит, «Жигули» встретят «Мерседес» тоже через 2 часа после БМВ, т.е. в 17⁰⁰.

9 Класс

Задача 1. В выражении 1:2:3:4:5:6:7:8:9 расставить скобки так, чтобы результат был: а) минимальным; б) максимальным.

Решение:

Для получения минимального результата скобки в выражении расставлять не надо, поскольку деление на любое число вида к:(к+1) будет заменено умножением на дробь (к+1)/к - неправильную.

И получаем:

1:2:3:4:5:6:7:8:9= 1/(23456789),

действительно, произведение в знаменателе дает наибольшее из всех возможных значений.

Поэтому наибольшее значение выражения будет

1/(2:3:4:5:6:7:8:9)=1/(2/(3456789))=

=13456789/2=9/2².

Задача 2. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?

Решение:

Запишем все цифры в ряд в порядке убывания: 9876543210. Очевидно, каждое из искомых чисел получается вычеркиванием одной цифры из полученного ряда. Это можно сделать десятью разными способами, поэтому искомых чисел десять.

Задача 3. (Старинная задача). За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на рубль. Сколько стоит один бублик?

Решение:

Пусть х рублей - цена 1 бублика, у бубликов можно купить за рубль. Тогда по условию задачи

25 х=у,

ху =1

Из второго уравнения следует . Умножая первое уравнение на х, получаем 25х²=ху, т.е. 25х²=1.

Откуда .

Поскольку условию задачи соответствует только положительное значение х, получаем:

х=1/5.

Значит, один бублик стоит 1/5 руб.

Задача 4. Вершину А прямоугольника АБСD соединили отрезками с серединами сторон ВС и СD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?

Решение:

Обозначим середину стороны ВС через Е, а середину стороны СD –через F. Нетрудно показать, что ЕF‹АЕ (например, заметив, что в треугольнике DЕF сторона DЕ, равная отрезку АЕ, лежит против тупого угла). Из треугольника АЕ получаем теперь АF‹АЕ+ЕF‹2АЕ, откуда вытекает, что ответ на вопрос задачи отрицателен.

Можно решать эту задачу и с помощью теоремы Пифагора. Обозначим длины сторон АВ и АD через х и у соответственно. Тогда

АЕ²=х²+у²/4

Если АF=2АЕ, то АF²=4АЕ², то есть х²/4+у²=4х²+у²,

откуда х²=0, что невозможно.

Задача 5. Числитель и знаменатель дроби – положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?