Решение:
Прежде
всего обратим внимание, что х>0.
Преобразовывая в этих условиях уравнение, получаем:
2
=х;
аналогично, преобразовывая последовательно, получаем:
2
=х,
=х,
откуда,
2(х+1)=х
2х+2=х
х=-2,
что противоречит условию х>0.
Значит, уравнение не имеет решения.
Задача 5.Квадратный трехчлен ах2+вх+с имеет корни. Верно ли, что трехчлен а3х2+в3х+с3 также имеет корни?
Решение:
Так как ах2+вх+с имеет корни, то в24ас, откуда в664а3с3. Если ас0, то 64а3с34а3с3, а если ас<0, то в60>4а3с3. В обоих случаях в64а3с3. Именно это и нужно, чтобы трехчлен а3х2+в3х+с3 имел корни. Итак, ответ на вопрос задачи положительный.
Задача 6. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекают описанную окружность в точках К и L. Отрезки АК и ВL пересекаются в точке Х и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный
Решение:
Из условия следует подобие треугольников АХВ и КХL. Отсюда ВАК =LКА, но LКА=АВL (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому ВАК = АВL, но, так как АК и ВL – биссектрисы, А =В.
Задача 7.Две окружности пересекаются в точках А и В. Проведена прямая, пересекающая первую окружность в точках С и D, а вторую – в точках Е и F (рис.2). Докажите, что САЕ = DВF.
Решение:
Пусть а=ВFD, х=FВD, у=САЕ (рис.2). Угол ЕАВ равен а как вписанный в окружность S1 и опирающийся на ту же дугу, что и угол ЕFВ, равный а. Аналогично (см. окружность S1) устанавливается, что САВ=СDВ, т.е. СDВ=у+а. Но угол СDВ является внешним для треугольника ВDF. Поэтому СDВ=х+а, т.е. у+а=х+а, у=х, что и требовалось доказать.
Замечания. 1) Утверждение задачи справедливо и в предельных случаях, когда ЕА или ЕВ. В этих случаях прямую ЕА и, соответственно, прямую DВ надо заменить на касательную в точке А к окружности S2 (рис.3) и на касательную в точке В к окружности S1.
2)Если точки А и В лежат по одну сторону от прямой СF, то утверждение задачи (о равенстве углов) не имеет места.
Задача 8. Куб 1 х1 х 1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?
Решение:
Ответ: необязательно. Приведем соответствующий пример. Квадратом площади 2 можно оклеить, как это показано на рис.1,а верхнюю грань куба и четверть каждой из смежных с ней граней. (Вершины квадрата располагаются в центрах этих четырех боковых граней).
Рис.1,а.
Точно так же квадратом площади 2 можно оклеить нижнюю грань и четверть каждой из боковых. Каждую из четырех оставшихся областей можно оклеить квадратом площади 0,5 так, как показано на рис.1, б.
Рис.1,б.