Задания районной, городской олимпиады по математике 2004 года

9 Класс

1. У трех сестер Веры, Надежды и Любови дни и месяцы рождения совпадают – 30 сентября. В день совершеннолетия – 18 лет – старшей сестры Веры оказалось, что сумма возрастов всех сестер делится на 18. В день 18-летия Надежды ситуация повторилась. Определите, сколько лет будет каждой сестре, когда младшая – Любовь – станет совершеннолетней.

(7 баллов)

2. На доске записали три числа. После того, как нашли их произведение, сумму и сумму попарных произведений оказалось, что получили три записанных на доске числа. Какие числа записаны на доске?

(7 баллов)

3. Вовочка рвет листок с результатами неудачного тестирования. За одну секунду он может разорвать какой-то один из клочков на 2 части или разорвать на две части каждый клочок. Может ли Вовочка через 16 секунд получить ровно 2004 клочка?

(9 баллов)

4. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из них можно сложить прямоугольный треугольник.

(9 баллов)

5. Население острова состоит из рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут.

Троим островитянам, шедшим вместе, встретился турист, который каждому задал вопрос: «Сколько рыцарей среди Ваших спутников?».

Первый ответил: «Один».

Второй сказал: «Ни одного».

Что сказал третий островитянин?

(8 баллов)

Задания районной, городской олимпиады по математике 2004 года

10 Класс

1. Бригада землекопов должна была начать работу в 8 ч. Но, простояв в очереди за лопатами, землекопы начали работу позже: первый на 5 минут, второй – на 10 минут, третий – на 15 минут и т.д. До обеда бригада вырыла траншею, в 12 часов землекопы ушли на обед. После обеда землекопы работали с 13 до 16 часов и вырыли вторую траншею. Сколько землекопов было в бригаде?

(7 баллов)

2. Докажите, что число

9+99+999+…+

делится на 999.

(8 баллов)

3. Решите уравнение

2004[х]–2005{х}=0.

(6 баллов)

4. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основанию AD, AD=8, AB=4. Окружность, которая проходит через вершины А, В и С содержит трапецию внутри и пересекает продолжение диагонали BD в точке К, такой, что ВК=9. Найдите длину диагонали BD.

(10 баллов)

5. Тестирование по математике проходили 100 учеников, среди которых были математики, которые всегда правдиво и правильно отвечают на любой вопрос, и математики, которые всегда лгут, разговаривая на нематематические темы. Первые 60 учеников, выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем правдивых». Можно ли определить, сколько всего лжецов принимало участие в тестировании?

(9 баллов)

Задания районной, городской олимпиады по математике 2004 года

11 Класс

1. Абитуриент принял участие в тестировании. Тестирование проводилось по трем предметам с равным количеством тестовых заданий по каждому предмету. С математикой абитуриент справился довольно успешно, выполнив 19 заданий, по физике удалось верно ответить ровно на 30% предложенных вопросов, а по русскому языку результат оказался хуже, чем по физике. Но в общей сложности абитуриент правильно выполнил ровно половину от общего количества тестовых заданий. Определите, из скольки заданий был составлен тест по каждому предмету.

(8 баллов)

2. Найдите наименьшее натуральное число такое, что для любой цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 число имеет делитель, оканчивающийся этой цифрой.

(6 баллов)

3. Найдите все функции f, удовлетворяющие при любых действительных х и у уравнению

f (x–y) = f (x) + f (y) – 2xy.

(7 баллов)

4. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, у которого все вершины лежат на параболе у = х² и гипотенуза параллельна оси абсцисс, равна 1.

(10 баллов)

5. Определите стороны треугольника АВС, если известно, что из отрезков, длины которых равны cosA, cosB, cosC можно составить треугольник, равный треугольнику АВС.

(9 баллов)