Указания, решения и комментарии

10 Класс

1. Ответ: 23 землекопа.

Решение. Землекоп, получивший лопату первым, работал

60 ∙ (12-8)–5 = 235 (минут),

вторым –

60 ∙ (12-8)–5 ∙ 2 = 230 (минут),

последним –

60 ∙ (12-8) – 5n = 240–5n (минут),

где n – количество землекопов.

Среднее время работы одного землекопа до обеда составило

минут.

После обеда на рытье такой же траншеи каждый потратил

60 ∙ (16-13) = 180 (минут).

Получаем равенство

Поскольку n ≠ 0, 475–5n = 360; откуда n = 23.

2. Доказательство.

Преобразуем сумму:

9+99+999+…+ =

= ((9+1)–1)+((99+1)–1)+((999+1)–1)+…+(( +1)–1) =

= 10+100+1000+…+ – 999 =

= 10(1+10+100+…+ ) –999 =

= 10∙ –999.

Число 111…1, записанное с помощью 999 единиц делится на 111:

Второй множитель произведения содержит 333 единицы и 664 нуля, т.е. сумма цифр этого числа кратна 9, поэтому число делится на 9, а, следовательно, число делится на 999.

Т.к. уменьшаемое и вычитаемое разности 10∙ – 999

делятся на 999, то и разность делится на 999.

3. Ответ: 0;

Решение. Перепишем уравнение в виде

2004[х]=2005{х}.

Поскольку {х}[0; 1), то 2005{х}[0; 2005), т.е. 2004[х][0; 2005).

Значит, [х][0; );

откуда

[х] = 0 или [х] = 1.

Если [х] = 0, то 2005{х}=0, т.е.

{х}=0.

Получаем х = 0.

Если [х] = 1, то 2005{х}=2004,

{х}=

Получаем

4. Ответ: 8.

Решение. Продолжим сторону AD за точку D до пересечения с окружностью в

точке М, соединим отрезком точки С и М. Трапеция МСВА – равнобокая, т.к. вписана в окружность. По свойству пересекающихся хорд окружности

AD∙DM=BD∙DK.

Обозначим BD=x, BAD=. По теореме косинусов для треугольника ABD получаем:

C B

M A

D

K

BD²=AB²+AD² – 2ABADcos, т.е.

x²=16+64–64 cos,

x²=80–64 cos.

По свойству равнобокой трапеции

CM=AB=4, CMD=BAD=.

Поскольку CDAM, определим MD через гипотенузу СМ и угол :

MD = CM cos=4 cos.

Т.к. BK = BD+DK, DK = BK – BD = 9–x.

Получаем:

x (9–x) = 84 cos,

9x–x² = 32 cos.

Исключая из равенств 1 и 2 cos, получаем:

х²–80=18х–2х²;

х²–18х+80 = 0,

откуда х=8 или х=10. Значение х=10 не подходит, т.к. 109, т.е. BDBK, что противоречит условию задачи.

5. Ответ: 50.

Решение. Если предположить, что лжецов было больше, чем правдивых, то первый лжец, который покинул аудиторию, сказал правду, заявляя, что в аудитории лжецов осталось больше, чем правдивых. Значит, в этом случае возникает противоречие.

Если предположить, что правдивых было больше, то первый, покинувший аудиторию правдивый математик, не прав, заявляя, что в аудитории лжецов больше чем правдивых. Значит, и в этом случае возникает противоречие.

Если предположить, что лжецов и правдивых было поровну – 50 лжецов и 50 правдивых, то и в этом случае возникает противоречие. Например, первыми вышли двое правдивых, после чего в аудитории осталось 48 правдивых и 50 лжецов. Если третьим вышедшим после тестирования был лжец, в аудитории осталось 48 правдивых и 49 лжецов, а, следовательно, ответ лжеца – правдивый. Противоречие. Значит, однозначно определить количество лжецов нельзя.