Указания, решения и комментарии

11 Класс

1. Ответ: 20 заданий.

Решение. Пусть каждый тест содержал а тестовых заданий. Тогда по физике абитуриент ответил правильно на 0,3а вопросов. Поскольку 0,3а – целое число, то а кратно 10, т.е. а=10n, nN. Так как а≥19, то n≥2. Полагая, что по русскому языку абитуриент ответил правильно на b вопросов, определяем общее число правильных ответов:

19+3n+b,

что по условию равно 0,5∙3а, или 15n. Получаем уравнение:

19+3n+b=15n, т.е.

b=12n–19.

Т.к. результат по русскому языку оказался хуже, чем по физике, получаем:

12n–19<3n,

n<

Получаем:

2 ≤ n < 2

n = 2.

Значит, каждый тест содержал 20 заданий.

2. Ответ: 270.

Решение. Искомое число кратно 10, т.е. имеет натуральный делитель, оканчивающийся цифрой 0.

Допустим , что искомое число имеет делителем число 9. Поскольку числа 9 и 10 взаимно простые, то в рассматриваемом случае искомое число кратно 90:

90, 180, 270, …

Среди делителей чисел 90 и 180 нет оканчивающихся цифрой 7; среди делителей числа 270 есть оканчивающиеся всеми цифрами от 0 до 9:

10, 1, 2, 3, 54, 5, 6, 27, 18, 9.

Покажем, что 270 – наименьшее натуральное число с таким свойством. Представим число 270 в виде произведения двух взаимно простых множителей:

270 = 10∙27.

Чисел, оканчивающихся цифрой 9 и меньших 27 – два: 9 и 19.

Если искомое число имеет делителем число 19, то это число кратно 190. Среди чисел, кратных 190, меньше 270 только само число 190. Выписав делители числа 190:

1, 2, 5, 10, 19, 38, 95, 190, –

замечаем, что среди них нет оканчивающихся цифрами 3, 4, 6, 7.

Значит, число 270 – наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условию задачи.

3. Ответ: f (x)=x².

Решение. При х=у имеем:

f (0)=f (x)+f (x) – 2x²;

f (x)=x²+

При х=у=0 получаем:

f (0) = f (0) + f (0) – 0;

f (0) = 0.

Значит, f (x) = x².

4. Доказательство.

y y=x2 A a2 D B h a2-h C -a 0 a x

Рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С, гипотенуза AB которого параллельна оси Ох, а высота, проведенная к гипотенузе – CD. Точки пересечения прямой параллельной оси Ох, с параболой у=х2 симметричны относительно оси ординат.

Поэтому, предполагая, что а>0, определяем координаты вершин А и В треугольника АВС:

А (–а; а²), В (а; а²);

тогда AB=2а.

Обозначим высоту CD буквой h. Найдем координаты точки С:

C ( a²–h)

Поскольку С=90, то угол между векторами и прямой, а, следовательно, скалярное произведение векторов и равно 0, т.е.:

По смыслу задачи h0, поэтому h=1.

5. Ответ:

Решение. Обозначим длины сторон треугольника, противолежащие углам А, В, С буквами а, b, с соответственно; А=, В=, С=. Из условия задачи следует, что cos 0, cos 0, cos 0, т.е.  АВС – остроугольный.

Без ограничения общности можно положить, что a  b  c, тогда     . Поскольку на промежутке функция y = cos x убывает, получаем:

cos   cos   cos . Значит, a= cos , b= cos , c= cos .

По теореме синусов

т.е.

откуда

Получаем: 2=2 или 2+2=.

Если , то  Значит,  АВС – равносторонний со сторонами, равными Если то что невозможно.