Указания, решения и комментарии

9 Класс

1. Ответ: 30 лет, 24 года, 18 лет.

Решение. Предположим, что в день 18-летия Веры Надежде исполнилось а лет, Любови – b лет. Так как Вера старшая из сестер и сумма 18+а+b делится на 18, то 18+а+b<54, т.е. а+b<36. Получаем: а+b=18.

В день совершеннолетия Надежды – через b лет – Вере исполнится (18+b) лет, а Любови 2b лет; причем сумма 18+b+18+2b=36+3b кратна 18. Значит, 3b кратно 18, а b кратно 6. Учитывая, что a+b=18, получаем возможные значения b: 0, 6, 12, 18. Составим таблицу возможных возрастов сестер на момент совершеннолетия Веры:

	Возможные значения b
	b=0	b=6	b=12	b=18
Вера	18	18	18	18
Надежда	18	12	6	0
Любовь	0	6	12	18
Вывод	–	+	–	–

Ситуация при b=0 означает, что Любовь родилась в день совершеннолетия Веры, а Надежда и Вера – в один день. Это противоречит утверждению: Вера – старшая сестра.

В ситуациях при b=12 и b=18 возникает противоречие с утверждением: Любовь – младшая сестра.

В ситуации при b=6 выполняются все утверждения задачи.

Поэтому Любовь достигнет совершеннолетия через 12 лет после совершеннолетия Веры. Сестрам в этот день исполнится: Вере – 30 лет, Надежде – 24 года, Любови – 18 лет.

2. Ответ: -1, -1 и 1; 0, 0 и n.

Решение. Обозначим записанные на доске числа а, b, c; найдем их произведение abc, сумму a+b+c и сумму попарных произведений ab+bc+ac. Не теряя общности, можно считать что

a bc = a,

a+b+c=b,

ab+bc+ac=c.

Из первого равенства получаем:

a ≠ 0, или a = 0.

bc = 1;

При а ≠ 0 имеем .

Второе равенство системы принимает вид:

а+с = 0, т.е.

а = –с.

Третье равенство –

-1+1-с² = с,

с²+с = 0,

с (с+1) = 0.

Поскольку условие bc=1 выполняется при с≠0, получаем с = -1, а, следовательно, а=1, b= -1.

При а = 0 из второго равенства системы получаем с = 0. Все равенства в этом случае выполняются при любом значении b.

3. Ответ: может.

Решение. «Восстановим» листок из 2004 клочков:

2004=2∙1002;

1002=2∙501;

501=500+1;

500=2∙250;

250=2∙125;

125=124+1;

124=2∙62;

62=2∙31;

31=30+1;

30=2∙15;

15=14+1;

14=2∙7;

7=6+1;

6=2∙3;

3=2+1;

2=2∙1.

Запись m=2∙n показывает, что Вовочка разорвал все имеющиеся клочки на две части; запись p=q+1 – разорвал на две части только один клочок (m, n, p, q – натуральные числа).

Поскольку каждой записи соответствует время, равное 1 секунде, то на получение 2004 клочков требуется 16 секунд.

4. Доказательство.

P B R M N A K C

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть M и N – середины сторон AB и ВС соответственно. Проведем перпендикуляр МК к стороне АС. Продолжим отрезок МК за точку M так, что МР=МК, соединим точки Р и В. Треугольники АМК и ВМР равны по двум сторонам и углу между ними.

Поэтому МРВ = МКА = 90°.

Поскольку МРВ и МКА – внутренние накрест лежащие углы, образованные пересечением РВ и АС прямой КР, то РВ || АС.

Продлим отрезок РВ за точку В до пересечения с прямой, проходящей через точки К и N, в точке R.

Треугольники BRN и CKN равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Таким образом, треугольник KPR прямоугольный и может быть составлен из трех частей треугольника АВС.

5. Ответ: «Один».

Решение. Предположим, что первый ответивший оказался лжецом. В этом случае оба его спутника либо лжецы, либо рыцари. Если оба спутника лжецы, то второй ответивший – тоже лжец – сказал правду. Противоречие. Если оба спутника рыцари, то второй ответивший – рыцарь – солгал. Противоречие.

Поэтому первый ответивший сказал правду, т.е. он рыцарь. Второй – солгал, а третий – рыцарь – должен дать правдивый ответ: «Один».