7)Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ответ: Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Абсолютная и условная сходимость: Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

8)Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ответ: Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница: Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что: 1)a_n+1 < a_n для всех n; 2) . Тогда знакочередующиеся ряды: и сходятся.

9)Функциональные ряды. Основные определения. Область сходимости.

Ответ: Выражение называется функциональным рядом относительно переменной х. Придавая в выражении (1) переменной х некоторые значения x₁, x₂, ... и т.д., мы будем получать числовые ряды u₁(x₁) + u₂(x₁) + ... +u_n(x₁) +... , u₁(x₂) + u₂(x₂) + ... +u_n(x₂) +... В зависимости от значения, принимаемого переменной х, числовые ряды могут оказаться сходящимися или расходящимися. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда. Если значение х₀ переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда (1), то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке х =x₀: u₁(x₀) + u₂(x₀) + ... + u₂(x₀) + u_n(x₀) + ... =S (x₀). Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения x₀ переменной х, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной х. Областью определения суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда. Если ряд сходится в интервале (a, b), то для всех х из (a, b) существует предел: где S_n(x) — частичная сумма, S(x) — сумма ряда.

10)Степенные ряды. Теорема Абеля.

Ответ: Функциональные ряды вида: , где c_n (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа c_n -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z= -a, получим ряд (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1). Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0 , то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<|z₀|; а если этот ряд расходится при z=z₁ 0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>|z₁|. а)Пусть k₀ ={z: | z|<|z₀|}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса |z₀|, и пусть z – произвольная точка круга k₀, т.е. |z|<|z₀| , поэтому q=|z/z₀|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке z₀, то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности { },т.е. M. Используя неравенство (3) и (4), получаем| |=| |*| z/ M , где (5). Так как ряд , где , сходится, то по признаку сравнения сходится ряд ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга k₀. б)Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке такой, что |z₁|<| |, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке z₁. Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R( -число или такое, что: а)если и , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда; б)если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0; в)если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости. Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке. Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R= , а если существует конечный и бесконечный , то R= . 0, .