15)Свойство двойного интеграла.
Ответ:
Понятие:
двойного интеграла – является –
обобщением понятия: определённого
интеграла, поэтому для двойного интеграла
– справедливы свойства, как и для:
определённого интеграла.
5)Теорема
о среднем значении: если функция f(x,y)
– непрерывна в ограниченной замкнутой
области
,
то в этой области – найдётся точка
(x0,y0),
такая что:
,
здесь: f(x0,y0)
– называется – средним значением
функции f(x,y)
– в области
.
6)Если
область интегрирования
- может быть разбита на части:
16)Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Ответ:
Рассмотрим
область
-
на плоскости xOy.
Можно показать, что двойной интеграл –
по области
-
сходится к повторному вычислению –
двух определённых интегралов:
Интеграл справа – называется – повторным
интегралом, и его принято записывать –
в виде:
Здесь, в повторном интеграле – стоящем
справа – сначала функция f(x,y)
– интегрируется по y,
при постоянном x
– в пределах:
;
,
в результате – получается функция от
x,
которая затем интегрируется по x
– в постоянных пределах: от a
– до b.
Пример: Вычислить двойной интеграл
,
где область
-
ограничена линиями: y=x,
y=x2.
17)Тройной интеграл, как предел интегральной суммы.
Ответ:
Тройной
интеграл:
Пусть внутри этого тела – неравномерна
распределена масса – с плотностью
.
Нужно найти массу тела. Разобьём всё
тело – на n
участки:
Масса всего тела:
Тройной интеграл – от функции f(x,y,z)
– по объёму V
– называется – предел:
В
случае, если этот предел – не зависит
от способа разбиения V
– на
,
и от выбора точек (xi,yi,zi)
–в каждом из этих объёмов. Обозначается
– тройной интеграл:
Масса неоднородного тела:
Тройной интеграл – от непрерывной
функции f(x,y,z)
– по ограниченному, и замкнутому объёму
V
– существует.
Для тройного интеграла – справедливы
свойства – аналогичные свойствам
двойного интеграла.
18)Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Ответ:
Рассмотрим:
тело, или объём – в пространстве:
которое ограничено снизу – поверхностью:
,
а сверху поверхностью:
.
Тогда можно показать, что тройной
интеграл – равен:
Здесь в правой части – функция f(x,y,z)
– интегрируется по Z,
при постоянной x,y
– в пределах: от
-
до
.
Затем, полученная в результате функция
от x,y
– интегрируется по y
– в пределах:
-
до
-
по постоянной x.
Полученная в результате функция от x
– интегрируется в постоянных пределах:
от a
– до b.
Пример: Вычислить тройной интеграл:
,
где: V
– ограничен поверхностями. X=0,
y=0,
z=0,
x+y+z=1.
19)Комплексные числа и их изображение на комплексной плоскости.
Ответ:
Комплексным
числом – называют числа, вида: z=x+i*y,
где: x,y
– действительные числа, i
– мнимая единица. i2=-1.
X
– действительная часть: x=ReZ.
Y
- мнимая часть: y=ImZ.
Действия, над комплексными числами:
z=0,
x=0,
y=0.
Z1=X1+i*Y1;
Z2=X2+i*Y2;
Z1=Z2.
Когда:
X1=X2,
Y1=Y2.
Суммой: Z1
и Z2
– называется число: Z1+Z2=(X1+X2)+i*(Y1+Y2).
Разностью: Z1
и Z2
– называется число: Z1-Z2=(X1-X2)+i*(Y1-Y2).
Произведением: Z1
и Z2
– называется число:
Z1*Z2=(X1+i*Y1)*(X2+i*Y2)=X1*X2+i*X1*Y2+i*Y1*X2+i2*Y1*Y2,
т.е.: Z1*Z2=X1*X2-Y1*Y2+i*(X1*Y2+Y1*X2).
Делением:
Z1
и Z2
– называется
число:
20)Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.
Ответ:
Умножение,
и деление чисел – в тригонометрической
форме:
21)Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме.
Ответ:
Сложение.
Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется
комплексное число 
,
т.е. 
.
Вычитание. 
.
22)Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме.
Ответ:
Умножение.
Произведением комплексных
чисел
и
называется
комплексное число 
,
т.е. 
.
Деление. Частное двух комплексных чисел можно найти, умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, и выделяя в полученном результате действительную и мнимую части, т.е.
23)Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Ответ: Умножение, и деление чисел – в тригонометрической форме:
24)Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра.
Ответ: При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.
|
(a+ i b)2= |
|
=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))2= |
1. |
= r2(cos(2φ)+ i·sin(2φ)) |
а также:
|
(a+ i b)3= |
|
=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))3= |
2. |
= r3(cos(3φ)+ i·sin(3φ)) |
и вообще
|
(a+ i b)n= |
|
=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))n= |
3. |
= rn(cos(nφ)+ i·sin(nφ)) |
Данная формула называется формулой Муавра. Она верна и для целого отрицательного значения n, а также для n = 0.