34)Формула полной вероятности.

Ответ: Теорема 2.5. Если событие   наступает только при условии появления одного из событий  , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события   равна сумме произведений вероятностей каждого из событий   на соответствующую условную вероятность события 

(2.1)

При этом события   называются гипотезами, а вероятности   — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности. Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный. Решение. Обозначим   событие, означающее годность собранного узла;  ,   и   — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда: Искомая вероятность:

35)Формула Байеса.

Ответ: Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие  , появляющееся совместно с каким-либо из событий  , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез  . Априорные (до опыта) вероятности   известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности  . Для гипотезы   формула Байеса выглядит так: Раскрывая в этом равенстве   по формуле полной вероятности (2.1), получаем:

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный. Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

для первого станка

для второго станка для третьего станка

36)Дискретная случайная величина. Закон распределения.

Ответ: Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами  Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина   , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел   поставлено в соответствие некоторое положительное число   , причем: Числа   называются возможными значениями случайной величины  , а числа  - вероятностями этих значений ( ). Таблица

называется законом распределения дискретной случайной величины   . Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки   и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины  . Если возможными значениями дискретной случайной величины   являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли: то говорят, что случайная величина   имеет биномиальный закон распределения: Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем   Если возможными значениями дискретной случайной величины   являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле:

то говорят, что случайная величина   имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются: геометрический: где   ; Закон распределения Пуассона: где:  - положительное постоянное. Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при  , ,  . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона: где   .