3.5 Оценка характеристик аналитической риск-модели атакуемого компонента информационно-телекоммуникационной системы с применением l-моментов и l-моментных соотношений

На аналитические выражения характеристик разработанной аналитической риск-модели атакуемого компонента информационно-телекоммуникационной системы (параграф 3.1) накладываются ограничения в части значений их аргументов: начальные и центральные моменты и выраженное через них большинство характеристик риск-модели существуют при положительном значении аргумента фигурирующей в их составе гамма-функции [179]. В связи с чем, можно определить условия существования характеристик аналитической риск-модели (таблица 3.4)

Таблица 3.4

Условия существования характеристик риска

Характеристика риск-модели	Условие существования
Относительный показатель защищенности
Первый начальный момент, математическое ожидание
Второй начальный момент, второй центральный момент, дисперсия, среднеквадратическое отклонение
Третий начальный момент, третий центральный момент, коэффициент асимметрии
Четвертый начальный момент, четвертый центральный момент, коэффициент эксцесса
Пятый начальный момент

Таким образом, возникает актуальная задача получения аналитических выражений для характеристик разработанной риск-модели, не зависящих от ограничений для значений параметров такой риск-модели.

Исследование научных публикаций [134, 151, 157, 158], позволяет утверждать, что решить поставленную задачу можно, используя математический аппарат так называемых L-моментов и L-моментных соотношений, возникших в качестве модификации вероятностно взвешенных моментов (англ. Probability weighted moments) [171]. L-моменты получили свое название благодаря принципу своего построения: с математической точки зрения они представляют собой линейные (англ. linear) комбинации выборочных значений из порядковых статистик, в связи с чем могут быть получены для любой случайной величины, для которой существует среднее значение [153]. Кроме того, L-моменты менее чувствительны к аномалиям статистических данных: случайным выбросам, погрешностям и ошибкам наблюдений поведения исследуемой случайной величины [188].

Сами L-моменты r-го порядка могут быть получены из выражения [157]:

(3.35)

где – обратная к функции распределения функция квантилей, – смещенный полином Лежандра, определяемый по формуле:

(3.36)

Тогда с учетом (3.57), (3.58) первые четыре L-момента могут быть вычислены как:

		(3.37)
		(3.38)
		(3.39)
		(3.40)

Для функций распределения, представленных в интегральной форме , производящая функция вероятностно-взвешенных моментов r-го порядка имеет вид [29]:

(3.41)

Тогда, преобразовав выражения (3.37)-(3.40) с учетом (3.41), получим L-моменты, выраженные через вероятностно-взвешенные моменты:

		(3.42)
		(3.43)
		(3.44)
		(3.45)

Первый L-момент эквивалентен математическому ожиданию и называется L-размещением, второй L-момент является мерой масштаба для случайной величины. L-моменты третьего и четвертого порядков, приведенные к этому масштабу представляют так называемый L-моментные соотношения, являющиеся аналогами традиционных характеристик случайной величины и в общем виде определяемые по формуле:

(3.46)

Тогда – коэффициент L-асимметрии, – коэффициент L-эксцесса. Дополняет L-характеристики случайной величины коэффициент L-вариации, определяемый выражением:

(3.47)

Однако на практике, при построении аналитической риск-модели атакуемого компонента ИТКС, в имеются статистические данные о поведении случайной величины максимумов объема трафика. В этом случае по вариационному ряду из n элементов можно определить выборочные L-моменты, предварительно получив выборочные несмещенные оценки вероятностно-взвешенных моментов по аналогии с (3.63):

(3.48)

Выражения для выборочных L-моментов через выборочные несмещенные оценки вероятностно-взвешенных моментов имеют вид:

		(3.49)
		(3.50)
		(3.51)
		(3.52)

Соответственно, – выборочное L-размещение, – выборочный L-масштаб. Далее по аналогии с (3.46), можно получить аналитическое выражение для выборочных коэффициентов асимметрии , эксцесса и вариации t.

		(3.53)
		(3.54)

Исходя из (3.23), (3.48) – (3.54), можно получить выборочные L-моментные характеристики аналитической риск-модели атакуемого компонента ИТКС.

Выборочный L-момент первого порядка, являющийся L-размещением, будет равен:

(3.55)

Выборочный L-момент второго порядка, являющийся L-масштабом, может быть определен как:

(3.56)

Выборочный L-момент третьего порядка можно вычислить как:

(3.57)

Выборочный L-момент четвертого порядка определяется выражением:

(3.58)

Выражения для L-моментных соотношений позволяют определить остальные характеристики аналитической риск-модели атакуемого компонента ИТКС.

В соответствии с (3.54) выборочный коэффициент L-вариации будет равен:

(3.59)

Исходя из (3.53) выборочный коэффициент асимметрии и выборочный коэффициент эксцесса могут быть получены как соответственно:

(3.60)

(3.61)

Полученные аналитические выражения характеризуют аналитическую риск-модель атакуемого компонента ИТКС и не зависят от ограничений на значения параметров такой модели.