4.3 Исследование внутренней структуры временного ряда случайной величины объема трафика

Применим приведенный в параграфе 4.2 алгоритм для исследования временного ряда максимумов смоделированной случайной величины объема трафика (рис. 4.5) [43, 53, 54, 85, 108, 119, 123].

Рис. 4.5. Временной ряд максимумов

смоделированной случайной величины объема трафика

Преобразуем исходный временной ряд, учитывая среднее значение случайной величины (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Преобразованный временной ряд

Для анализа исходного временного ряда воспользуемся программой Catepillar –SSA, реализующей алгоритм ССА.

Выберем длину окна L. Поскольку временной ряд охватывает годовой период, то наиболее оптимальным будет L=24, т.к. именно при таком значении проще всего обнаружить сезонные зависимости (если они имеются в исходном временном ряде) [139, 169].

Следующим шагом реализации алгоритма ССА является построение по ряду корреляционной матрицы матрицы наблюдений [121, 156]. Корреляционная матрица матрицы наблюдений изображена на рис. 4.7. Для ее изображения используется визуальный способ, в котором большие значения обозначаются более темным тоном.

Рис. 4.7. Корреляционная матрица матрицы наблюдений

На рис. 4.8 изображены средние значения и дисперсии для матрицы наблюдений, соответствующей ряду.

Рис. 4.8. Математические ожидания (нижняя кривая)

и дисперсии (верхняя кривая) исходного ряда

По рис. 4.8 можно увидеть поведение средних значений сигнала риска (математического ожидания), а также дисперсий.

Проверим, является ли данный процесс стационарным. Как было отмечено в пункте 4.1, среднее значение и дисперсия стационарного случайного процесса не зависят от времени. Но по графику, представленном на рис. 4.8, видно, что математическое ожидание процесса нелинейно возрастает; дисперсия также является непостоянной величиной. Отсюда можно сделать вывод, что исходный временной ряд является нестационарным.

На рис. 4.9 изображен ряд осредненных ковариаций, который строится как усреднение ковариационной матрицы вдоль диагонали.

Рис. 4.9. Ряд осредненных ковариаций

Графики, изображенные на рис. 4.8 и 4.9, представляют информацию на уровне первых двух моментов. Математическое ожидание и дисперсия соответствуют математическому ожиданию и дисперсии для самого ряда, полученных методом скользящего сред­него с параметром, равным . С помощью ряда осредненных ковариаций, в общем случае, можно увидеть основную периодичность. В данном случае имеются подозрения об отсутствии низкочастотных периодических составляющих. О наличии высокочастотных составляющих по ряду осредненных ковариаций невозможно ничего сказать [128].

Следующим шагом метода ССА является анализ главных ком­понент. В качестве первого результата АГК (анализа главных компонент) на рис. 4.10 и 4.11 представлены различные характеристики собственных чи­сел ковариационной матрицы. Для большей контрастности графика на рис. 4.11 приведены логарифмы и корни из собственных чисел. По этим графикам можно предположить, сколькими главными компонентами описы­вается ряд, используя применяемые обычно критерии АГК.

Рис. 4.10. Собственные числа ковариационной матрицы

(нижняя кривая – процент собственных чисел;

верхняя кривая – накопленные проценты)

По рис. 4.10 видно, что для восстановления исходного сигнала достаточно близкого к исходному необходимо 12 главных компонент, т.к. вклад остальных компонент незначителен. Оставшиеся компоненты представляют собой шум.

Рис. 4.11. Повышающие контрастность функции собственных чисел ковариационной матрицы (верхняя кривая – корни из собственных чисел; нижняя кривая – логарифмы собственных чисел)

Рис. 4.11 может говорить о том, что после приблизительно 17 - 18 главной компоненты находится шум (равномерное убывание соб­ственных чисел очень маленьких). Метод ССА предполагает так же другие критерии. Так как одной синусоидальной составляющей соответствует в идеальной ситуации две главных компоненты с одинаковым периодом («синус» и «ко­синус»), соответствующие одному собственному числу, то в реальной си­туации эти две главные компоненты соответствуют близким собственным числам. Поэтому на графике можно увидеть «ступеньки».

Такие ступеньки могут быть характерны и для малых собственных чисел. На рис. 4.11 наиболее заметны ступеньки, соответствующие ГК 11-12. На рис. 4.12 и 4.13 представлены одномерные графики 12 собственных векторов и главных компонент.

Рис. 4.12. Одномерные графики собственных векторов

Рис. 4.13. Одномерные графики главных компонент

По рис. 4.12 – 4.13 видно, что ГК 1 представляет собой слабо выраженный тренд. Компонента ГК 2 может относиться как к трендовой, так и к низкочастотной составляющей. В данном случае отнесем ее к тренду. Компоненты ГК 3-5 представляют собой низкочастотные составляющие, т.е. есть подозрения, что исходный сигнал риска имеет определенный период. При этом главные компоненты 6-9 и 11-12, могут отвечать за периоды кратностью в несколько месяцев, в том числе , и .

Обнаружение высокочастотных составляющих может быть результатом дискретизации данных или причиной их появления может быть шум. Поэтому, если для низкочастотных составляющих обычно решается вопрос о том, что это, тренд или периодика, то для высокочастотных составляющих должен ставиться вопрос об их случайности. Например, о случайности может говорить биение амплитуды периодики. В то же время, увеличение амплитуды говорит только о нестационарности амплитуды периодики самого ряда.

Для облегчения разбиения главных компонент по парам служат двумерные графики собственных векторов и главных компонент (рис. 4.14 и 4.15). Так как двумерное изображение синуса и косинуса образует единичную окружность, то гармоническая составляющая с целым периодом изображается в виде правильного многоугольника с числом вершин, равным величине периода. При изменении амплитуды многоугольник превращается в спираль. Звездообразный график свидетельствует о наличие периодики с дробным периодом. Стоит отметить, что в поиске составляющей с периодом 2 двумерные графики помочь не могут.

Воспользовавшись приведенным выше анализом графиков собственных векторов и главных компонент, проведем восстановление ряда по выбранным составляющим (рис. 4.16).

Рис. 4.14. Двумерные графики собственных функций с годичной периодикой

Рис. 4.15. Двумерные графики главных компонент с годичной периодикой

Рис. 4.16. Восстановленный ряд по первым 27 ГК

На рис. 4.16 представлен восстановленный исходный ряд. Восстановление производилось по первым двадцати ГК. Не удивительно, что исходный и восстановленный ряд практически совпадают, так как вклад среднего и первых семнадцати главных компонент составляет 99.96%.

Ряд остатков (шумов) представлен на рис. 4.17.

Рис. 4.17. Шумы в исходном временном ряду

На рис. 4.18 можно увидеть вклад первых пяти компонент (тренда и низкочастотных составляющих).

Рис. 4.18. Восстановленный временной ряд и вклад в него первых пяти компонент

Рис. 4.19 содержит восстановление исходного ряда по среднему и тренду (ГК 1).

Рис. 4.19. Восстановленный временной ряд

по математическому среднему и тренду

Проведенный анализ показывает возможности ССА по исследованию внутренней структуры временных рядов, в том числе применительно к решению задач в области обеспечения информационной безопасности.