4.4 Алгоритмы прогноза сингулярного спектрального анализа

Приведем описание алгоритмов рекуррентного и векторного прогнозирова­ния, основанных на методе ССА [15, 18, 107, 142, 172].

Входные данные алгоритма:

1) Временной ряд , .

2) Длина окна , .

3) Линейное пространство размерности . Пред­полагается, что , где . Другими словами, не является «вертикальным» пространством. Обычно пространство задается некоторым ортонормированным базисом, но результаты прогнозирования не зависят от вида конкретного ба­зиса.

4) Число M точек прогноза.

Обозначения и комментарии:

1) (где ) - траекторная матрица временного ряда .

2) - ортонормированный базис пространства .

3) . Вектор является ортогональной проекцией на пространство .

4) - результат ганкелизации матрицы . Матрица - траекторная матрица некоторого ряда .

5) Для любого вектора обозначен вектор, состоящий из последних компонент вектора , a - вектор, состоящий из первых компонент вектора .

6) Пусть , где , — это последняя ком­понента вектора . Так как v² равняется квадрату косинуса угла между вектором и линейным пространством , то его можно назвать коэффициентом вертикальности простран­ства .

_{7) Пусть (пространство не является вертикальным). Тогда v2 < 1. Последняя координата yL любого вектора является линейной комбинацией его первых компонент y1,... ,yL-1:}

(4.14)

Вектор может быть представлен в виде:

(4.15)

и не зависит от выбора базиса P₁,..., P_r пространства [13].

Рекуррентное ССА-прогнозирование.

Используя введенные выше обозначения, определяется временной ряд :

(4.16)

Числа g_N,..., g_N+M-1 образуют M членов рекуррентного прогно­за [44].

Линейный оператор вычисляется по формуле

(4.17)

Если предположить, что:

(4.18)

то матрица Z = [Z₁ : ... : Z_K+M] является траекторной матрицей временного ряда G_N+M. Следовательно, формула (4.18) может рас­сматриваться как векторная запись рекуррентного прогноза, опре­деленного в (4.16).

Обозначим траекторное пространство ряда F_N. Предположим, что и . Если использовать алгоритм рекуррентного ССА-прогнозирования с , то и, следовательно, . Это озна­чает, что начальные точки g_N-L+1,..., g_N-1 для прогнозирующей рекуррентной формулы (4.16) совпадают с последними L-1 элементами ряда F_N [13].

Векторное ССА-прогнозирование.

Алгоритм рекурентного ССА-прогнозирования является основным прогно­зирующим алгоритмом в силу его непосредственной связи с линейными рекуррентными формулами. Векторное ССА-прогнозирование является модификацией рекурентного, которая в ряде случаев может давать более точные результаты прогноза [44].

Предположим, что целью является извлечение некоторой ад­дитивной компоненты из ряда F_N. Тогда, выбрав подходящую длину окна L, можно получить сингулярное разложение траекторной матрицы временного ряда F_N и можно определить собственные тройки , соответствующие ряду . Результирующая матрица тогда будет иметь вид:

(4.19)

После диагонального усреднения можно получить восстановленный ряд , который является приближением к [13].

Столбцы результирующей матрицы X_I принадлежат линейному пространству . Еcли ряд сильно отделим от ряда , тo совпадает с (траекторным пространством ряда ) и матрица X_I является ганкелевой, то есть X_I – траекторная матрица ряда . Если и приближенно сильно разделимы, то пространство будет близко к пространству и матрица X_I будет приближенно ганкелевой.

Коротко идея «векторного прогноза» может быть описана сле­дующим образом. Представим себе, что мы можем продолжить по­следовательность векторов на M шагов таким образом:

1) векторы продолжения принадлежат тому же самому линейному пространству ;

2) матрица является приближенно ганкелевой.

Имея матрицу Х_М, возможно получить ряд G_N+M с помощью диагонального усреднения. Так как первые элементы восстановлен­ного ряда совпадают с элементами ряда G_N+M, то последний может рассматриваться как прогноз ряда [13].

Приведем теперь подробный алгоритм векторного прогноза.

Предварительные замечания:

1) Алгоритм векторного прогноза имеет те же самые входные данные, как и алгоритм рекуррентного ССА-прогнозирования.

2) Обозначения в пунктах 1-7 рекуррентного прогноза остаются в силе. Введем еще несколько обозначений.

Рассмотрим матрицу вида:

(4.20)

где . Матрица П является матрицей линей­ного оператора, задающего ортогональную проекцию , где .

Линейный оператор определяется выражением:

(4.21)

Алгоритм векторного прогноза состоит из следующих шагов [44]:

1) В обозначениях, введенных выше, определяются векторы :

(4.22)

2) Образовав матрицу Z = [Z₁ : ... : Z_K+M+L-1] и проведя ее диагональное усреднение, получается новых ряд из элементов g₀,..., g_N+M+L-1.

3) Числа g₀,..., g_N+M+L-1 образуют M членов векторного про­гноза.

Если является траекторным пространством ряда F_N, то резуль­таты векторного и рекуррентного прогноза совпадают. Хотя ре­зультаты и не отличаются, суть у рекуррентного и векторного про­гнозов разная. Рекуррентный прогноз выполняет продолжение ря­да непосредственно, в то время как векторный прогноз основан на L-продолжимости в подпространстве [13]. В случае приближенного продолжения эти два метода прогноза дают обыч­но разные результаты. Причем, чем хуже качество приближения, тем больше разница между результатами двух прогнозов.

Рекуррентный прогноз использует пространство , чтобы получить прогнозирующую линейную рекуррентную формулу, не заботясь о том, чтобы это про­странство являлось траекторным также и для ряда прогноза.

Процедура векторного прогноза пытается выполнить L-продолжение временного ряда в ; любой век тор принадлежит пространству , а векторы и настолько близки, насколько это возможно. Последняя координата вектора Z_i+1 получена из также с помощью линейной рекуррентной формулы, используемой при рекур­рентном прогнозировании. Однако так как матрица Z не являет­ся ганкелевой, то последующее диагональное усреднение портит соотношение между точками прогноза, задаваемое этой формулой.