1. Метод калибровки по одной точке

Метод полезен для быстрой повторной калибровки, когда нет сомнений в линейности функции в данном диапазоне [0,…, М]. «Нулевую точку» получают путем регулировки некоторых параметров, чтобы гарантировать, что неизвестная величина с нулевым истинным значением будет измерена как 0. В этом методе используют только холостую пробу (величина с истинным значением 0) и один RM.

Исторически этот метод называют калибровкой по одной точке, но в действительности это - калибровка по двум точкам, выполненная с холостым и еще одним RM. Слабым местом этой калибровки является нулевая точка из-за ее сомнительности. Метод не рекомендуется применять для целей калибровки. Он годится только для проверки существующей линейной функции калибровки.

В качестве предположений используют следующие:

a) принятое значение, передаваемое единственным RM, и холостая проба, используемые в этом методе, не содержат ошибок;

b) функция калибровки линейна в диапазоне [0,…, M];

c) стандартное отклонение остатков.

Модель

Модель аналогична модели основного метода с постоянной дисперсией остатков, но без свободного члена. Эта модель имеет вид

График данных, собранных в процессе эксперимента, показан на рисунке 6.

График позволяет для дальнейшего анализа визуально идентифицировать потенциальные выбросы. На рисунке также показана линейная функция калибровки, проходящая через начало координат.

Рисунок 6 - График данных эксперимента по калибровке

с одной точкой

2. Метод «вилки»

Метод полезен, когда имеются сомнения относительно линейности функции калибровки в диапазоне значений, характерных для нормальной работы измерительной системы. Метод также полезен, когда существуют опасения относительно нарушения стабильности процесса измерений. Принцип метода состоит в сокращении в максимально возможной степени интервала измерений, по которому принимают решение о линейности функции калибровки. В результате применения метода «вилки» значение неизвестной величины оказывается окруженным с обеих сторон настолько тесно, насколько возможно, двумя значениями, передаваемыми RM. Благодаря близости двух RM к неизвестной величине и вследствие короткого периода времени, необходимого для этой процедуры (времени измерений неизвестной величины и двух RM) метод «вилки» обычно обеспечивает более высокую точность определения преобразованного значения неизвестной величины.

Измерения неизвестной величины и двух RM выполняют одновременно. Значение неизвестной величины оценивают, используя уравнение прямой линии, соединяющей значения двух RM.

Поскольку метод предусматривает измерение только двух RM, он использует, но не позволяет проверить следующие предположения:

a) принятые значения, передаваемые RM, не содержат ошибок;

b) функция калибровки в интервале между значениями, передаваемыми двумя RM, линейна;

c) стандартное отклонение остатков постоянно.

Модель та же, что и для основного метода с постоянным стандартным отклонением остатков (рисунок выше).

Одно принципиально важное свойство коэффициента корреляции между переменными: возведенный в квадрат он показывает, какая часть дисперсии (разброса) признака является общей для двух переменных.

Рассмотрим пример.

Связь между аналитическим сигналом у и зависимой переменной x предполагается линейной. По полученным опытным данным (таблица 1) построить парную линейную регрессионную модель. И определить значение переменной Х тогда, как Y равна 127,5.

Таблица 1 – Полученные данные задачи

	Х1	Х2	Х3	Y(А)
1	119	120	121	110
2	124	124	127	107
3	130	130	130	105
4	134	136	135	98
5	141	139	140	100
6	147	144	144	95
7	150	150	150	95
8	154	155	156	92
9	161	161	158	86
10	165	164	166	83

Задание включает:

1. Построение градуировочного графика.

2. Проведение необходимых вычислений и составление уравнения линейной регрессии.

3. Вычисление коэффициента корреляции и проверка его значимости.

4. Оценка адекватности функции калибровки.

Решение:

Поскольку мы имеем данные трех параллельных измерений переменных х, то для начала найдем среднее значение переменной х. И построим график зависимости х_ср от у (рисунок 7).

Рисунок 7 – График зависимости х_ср от у

Визуально можно сделать вывод о том, что график имеет линейную зависимость и не имеет явных выбросов, поэтому можно приступить к дальнейшим расчетам.

В регрессионном анализе изучается связь между зависимой переменной У и одной или несколькими независимыми переменными .

Рассмотрим парную регрессию, когда независимая переменная одна. Предположим, что переменная х (как правило, неслучайная величина) принимает некоторые фиксированные значения х1, х2, . Соответствующие значения зависимой переменной У имеют разброс вследствие погрешности измерений и различных неучтенных факторов: у1, у2, ..., . Предположим, что связь между переменными линейная, тогда соответствующая регрессионная модель имеет вид:

,

где

и - параметры линейной регрессии;

- случайная ошибка наблюдений, предполагается, что её математическое ожидание равно нулю, а дисперсия постоянна.

Задача регрессионного анализа сводится к оценке параметров регрессии и , проверке гипотезы о значимости модели и оценке ее адекватности: достаточно ли хорошо согласуется модель с результатами наблюдений?

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов, в качестве оценок принимаются такие значения и , которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от расчетных:

Приравнивая нулю производные по и , получим зависимости для оценивания параметров модели линейной регрессии:

и ,

где

Выполнив расчеты, получим уравнение регрессии следующего вида: Теперь следует проверить значимость регрессии. Для этого нам потребуется рассчитать:

остаточную сумму квадратов,

– общую сумму квадратов;

сумму квадратов, обусловленную регрессией.

Используем для расчета следующие формулы:

Остаточную сумму квадратов можно вычислить, используя основное тождество дисперсионного анализа: =

Парная линейная регрессионная модель называется незначимой, если параметр . Для проверки нулевой гипотезы Н₀: используется статистика:

Данная статистика при заданном уровне значимости а сравнивается с квантилью распределения Фишера. Если оказывается F>F_табл, то нулевая гипотеза отклоняется: регрессионная модель ста­тистически значима.

Кроме значимости, проверяется и адекватность модели. Уравнение регрессии считается значимым и может быть использовано в прикладных целях, если F>F_табл, если же F<F_табл, то уравнение не является достаточно надежным. По виду расчетного показателя можно судить о характере аппроксимации корреляционного поля линией регрессии. Чем меньше дисперсия остатков или же чем выше объясненная дисперсия, тем лучше линия регрессии по сравнению с другими опробованными линиями.

Наиболее эффективной оценкой адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Соответственно характеризует долю дисперсии, вызванную влиянием остальных неучтенных в модели факторов. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем меньше остаточная или необъясненная дисперсия и, следовательно, тем лучше построенное уравнение регрессии отражает корреляционную зависимость между показателями X и Y.

С помощью встроенной функции Excel "ЛИНЕЙН" (рисунок 8) мы построим уравнение прямой линии, которая проходит через совокупность точек на графике максимально приближенно (используется метод наименьших квадратов). Выделяем на рабочем листе диапазон и в строке формул вводим диапазон переменных Х и У.

Рисунок 8 – Вызов функции ЛИНЕЙН

  По окончании ввода формулы нажимаем не просто "Enter", а комбинацию клавиш "Ctrl + Shift + Enter" - таким образом в Excel вводятся ФОРМУЛЫ МАССИВОВ (таблица 2). В нашем случае это позволяет в выделенном диапазоне получить ценные данные для построения модели зависимости.

Таблица 2 – Результат использования функции ЛИНЕЙН

	ЛИНЕЙН
	a	b
	-0,56848	178,1091
	0,039963	5,723611
R2	0,961969	1,814921	Станд. Ошибка у
F	202,356	8	df
QR	666,5485	26,35152	Qe
r	-0,9808

Теперь попробуем воспользоваться вкладкой «Регрессия» (рисунок 9) в пакете анализа «Анализ данных» и получим данные представленные в таблице 3.

Рисунок 9 – Вызов вкладки «Регрессия»

Таблица 3 – Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,982924
R-квадрат	0,966139
Нормированный R-квадрат	0,855028
Стандартная ошибка	18,90336
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	91760,97	91760,97	256,791	2,31E-07
Остаток	9	3216,035	357,3372
Итого	10	94977
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
Переменная X 1	0,668836	0,041738	16,0247	6,35E-08	0,574419	0,763254

Поскольку у нас имеется три параллельных измерения одной и той же величины, с помощью однофакторного дисперсионного анализа мы можем проверить значимо ли влияние какого-либо случайного фактора на полученные результаты измерений. Для этого воспользуемся пакетом «Анализ данных» и выберем вкладку «Однофакторный ДА», и после введения данных (рисунок 10) получаем данные представленные в таблице 4.

Однофакторный дисперсионный анализ
ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
Столбец 1	10	1425	142,5	242,5
Столбец 2	10	1423	142,3	230,9
Столбец 3	10	1427	142,7	217,1222
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F		P-Значение	F критическое
Между группами	0,8	2	0,4	0,001738		0,998264	3,354131
Внутри групп	6214,7	27	230,1741
Итого	6215,5	29

Таблица 4 – Однофакторный дисперсионный анализ

Рисунок 10 – Вызов вкладки «Однофакторный ДА»

На основании дисперсионного анализа можно сделать вывод, что влияние случайного фактора не значимо.