Статистические методы контроля качества продукции. Выборочный контроль при приемке продукции.

Основной задачей статистических методов контроля является обеспечение с большой достоверностью оценки качества продукции, предъявляемой на контроль, и однозначности взаимного признания результатов оценки качества продукции между поставщиком и потребителем, осуществляемой по одним и тем же планам выборочного контроля, то есть о качестве контролируемой партии продукции судят по значениям характеристик малой выборки этой партии, и по результатам контроля выборки принимается решение обо всей партии продукции: принять или отклонить партию.

Выборочный контроль подразделяется:

1. По времени проведения

   • Входной (закупочный контроль сырья)

   • Промежуточный (межоперационный)

   • Выходной (приемка готовой продукции)

2. По изменениям в результате контроля

   • Разрушающий

   • Неразрушающий

3. По жесткости, в зависимости от количества партий которые были последовательно приняты или отклонены

   • Нормальный

   • Усиленный

   • Облегченный

4. По контролируемому параметру

   • Количественный

   • Качественный

При контроле по качественному признаку каждую проверяемую единицу продукции относят к определенной группе (годная или дефектная), а последующие решения принимаются в зависимости от соотношения количества изделий, оказавшихся в этих группах. Такой контроль называется альтернативным. Преимущество данного вида контроля заключается в большей независимости от формы распределения и простоте применения, а так же оценивание на основе «да» - «нет» более оперативно и требует меньшей квалификации, чем при измерении. По этим причинам могут быть оправданы большие объемы выборок.

При контроле по количественному признаку определяют значения одного или нескольких параметров единицы продукции, а последующие решения принимаются в зависимости от этих значений (среднее арифметическое параметра, среднеквадратическое отклонение).

Контроль по альтернативному признаку.

При выборочном приёмочном контроле по результатам контроля выборок принимается решение принять или отклонить партию продукции. При этом в случае контроля по альтернативному признаку единицы продукции делятся на годные и дефектные, а партия, поступающая на контроль, имеет входной уровень дефектности q. Входной уровень дефектности  - это доля дефектных единиц продукции, которая заранее неизвестна, и её надо оценить по результатам контроля. Обычно при выборочном контроле партии разделяют на хорошие и плохие с помощью двух чисел – AQL приемлемый уровень качества (приёмочный уровень дефектности) и LQ предел качества (браковочный уровень дефектности). Партии считаются хорошими при q ≤ AQL и плохими при q ≥ LQ. При AQL < q < LQ качество партии считается ещё допустимым. Приёмочный уровень дефектности AQL – это предельно допустимое значение уровня дефектности в партии, изготовленной при нормальном ходе производства. Браковочный уровень качества LQ – это граница для отнесения продукции к браку.

По существу данный вид контроля является проверкой статистической гипотезы Н0: качество партии не соответствует предъявляемым требованиям и альтернативной гипотезы Н1: качество партии соответствует предъявляемым требованиям.

Для проверки применяют план контроля – это система правил по отбору изделий и принятию решения принять партию или забраковать. Забракованная партия возвращается поставщику, или производится ее сплошной контроль.

Существует 4 типа планов контроля:

• Одноступенчатые планы, согласно которым если среди n случайно отобранных изделий число дефектных z окажется не больше приемочного числа Ас (z ≤ Аc), то партия принимается; в противном случае партия бракуется.

• Двухступенчатые планы, согласно которым, если среди n1 случайно отобранных изделий число дефектных m1 окажется не больше приемочного числа Ас1 (z1 ≤ Аc1), то партия принимается; если z1 ≥ Re1, где Re1 – браковочное число, то партия бракуется. Если же Aс1 < z1 < Re1, то принимается решение о взятии второй выборки объемом n2. Тогда если суммарное число дефектных изделий в двух выборках (z1 + z2) ≤ Ac2, то партия принимается, в противном случае партия бракуется по данным двух выборок (рисунок 1).

Рисунок 1 – Двухступенчатый план контроля

• Многоступенчатые планы - обобщение двухступенчатых планов

• Последовательные планы, при которых решение о контролируемой партии принимается после оценки качества ряда выборок, общее число которых заранее не установлено и определяется в процессе контроля по результатам предыдущих выборок.

Оперативная характеристика плана

При выборочном контроле по альтернативному признаку план контроля включает значения объёма выборки n и приёмочного числа c. Партия принимается, если число дефектных единиц продукции в выборке m ≤ Аc.

Оперативной характеристикой плана контроля называется функция P(q), равная вероятности принять партию с долей дефектных единиц продукции q = M/N, где M – число дефектных изделий в партии объемом N.

Пусть партия состоит из N изделий, D из которых бракованные. Если взять из партии случайную бесповторную выборку (какую обычно и берут в производстве) объёмом n, то вероятность того, что в выборке ровно m бракованных изделий, равна

, где

При очень больших значениях параметров расчёт распределения может оказаться затруднительным. Однако, если n ≤ 0,1N, то можно применить Формулу Бернулли:

,

где доля дефектных изделий в партии;

При q ≤ 0,1 и n ≤ 0,1N обычно используется формула Пуассона, в которой

,

где λ = nq – математическое ожидание числа дефектных изделий в выборке.

Вероятность приемки для хорошей партии должна быть не ниже, чем 1 – α, а для плохой – не выше риска потребителя β:

P(q) = 1 - α при q = AQL,

P(q) = β при q = LQ,

где α - риск поставщика – вероятность ошибки, при которой годную партию изделий могут в результате колебаний выборочной оценки признать не соответствующей техническим требованиям. На практике, как правило, принимают α = 0,05.

β - риск потребителя – вероятность ошибки, при которой негодную партию изделий в результате колебаний выборочной оценки ошибочно признать годной. На практике обычно принимают риск потребителя β = 0,10.

Чаще всего оперативная характеристика отображается в виде графика.

Числовые характеристики одноступенчатого плана контроля по альтернативному признаку

При выборочном контроле по результатам проверки выборки обычно принимают одно из следующих решений:

1. Принять не проконтролированную (оставшуюся) часть партии без дальнейшего контроля.

2. Отвергнуть оставшуюся часть партии без дальнейшего контроля.

3. Провести сплошной контроль оставшейся части партии.

Рассмотрим план, когда отклонённые партии подвергаются сплошному контролю, т.е. контролируются оставшиеся (N-n) изделий, а выявленные дефектные изделия заменяют годными.

Пусть на контроль поступают партии изделий с постоянным уровнем дефектности q. Тогда партии принимаются с вероятностью P(q), и уровень дефектности в принятых партиях равен .

Партии отклоняются и подвергаются сплошному контролю с вероятностью 1 – P(q). Уровень дефектности в этих партиях равен 0. Тогда средний выходной уровень дефектности AOQ равен

Поскольку AOQ = 0 при q = 0 и при q = 1, то внутри интервала 0 ≤ q ≤ 1 имеется некоторое максимальное значение AOQ. Этот максимальный для заданного плана контроля средний уровень дефектности называют пределом среднего выходного уровня дефектности AOQL. При использовании такого плана число проконтролированных в партии изделий есть случайная величина, принимающая значение n с вероятностью P(q), и значение N с вероятностью 1 - P(q). Поэтому среднее число проконтролированных изделий в партии рассчитывается по формуле:

Для получения оценок среднего входного уровня дефектности q_ср, обычно используют информацию, накапливаемую в процессе проведения контроля, а на начальных этапах организации контроля с этой целью проводят сплошной контроль определённого числа партий.

Пример построения оперативной характеристики.

Для контроля качества партий из N=20 изделий используют одноступенчатый выборочный план с параметрами n=5 и Аc=1. Построить оперативную характеристику плана контроля, график функции AOQ в диапазоне q от 0 до 1 и график зависимости среднего числа проконтролированных изделий в партии в зависимости от q.

Поскольку приёмочное число равно 1, то партия будет принята при числе дефектных изделий в выборке 0 или 1. Вероятность приёмки равна сумме вероятностей появления в выборке 0 или 1 дефектных изделий:

Найдем долю дефектных изделий в партии по формуле:

где

M – число дефектных изделий;

N – объём партии.

Далее найдем вероятность появления в выборке 0 и 1 дефектных изделий по формуле:

Полученные данные занесем в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты расчета данных

D	q	P5(0)	P5(1)	P(q)
0	0	1	0	1
1	0,05	0,75	0,25	1
2	0,10	0,55	0,39	0,94
3	0,15	0,40	0,46	0,86
4	0,20	0,28	0,47	0,75
5	0,25	0,19	0,44	0,63
6	0,30	0,12	0,38	0,50
7	0,35	0,08	0,32	0,40
8	0,40	0,05	0,26	0,31
9	0,45	0,03	0,19	0,22
10	0,50	0,02	0,13	0,15
11	0,55	0,01	0,09	0,10
12	0,60	0,003	0,05	0,053
13	0,65	0,001	0,03	0,031
14	0,70	0,0004	0,013	0,0134
15	0,75	0,00006	0,005	0,00506
16	0,80	0	0,001	0,001
17	0,85	0	0	0
18	0,90	0	0	0
19	0,95	0	0	0
20	1	0	0	0

Получив вероятность приемки мы можем построить график оперативной характеристики (по оси х - доля дефектных изделий, по оси у – вероятность приемки) (рисунок 2).

Рисунок 2 – Оперативная характеристика плана контроля

Для построения графика функции AOQ в диапазоне q от 0 до 1 и графика зависимости среднего числа проконтролированных изделий в партии в зависимости от q необходимо рассчитать значения AOQ и n_ср по формулам:

По полученным данным строим графики зависимости AOQ от q (рисунок 3) и n_cp от q (рисунок 4).

Рисунок 3 – График функции AOQ

Рисунок 4 – График среднего числа

проконтролированных изделий

Рассмотрим данный пример построения оперативной характеристики в программе Excel.

В рабочий лист Excel вносим данные примера (рисунок 5) и рассчитываем долю дефектных изделий.

Рисунок 5 – Расчет доли дефектных изделий

Для расчета вероятностей появления в выборке 0 и 1 вызовем функцию ГИПЕРГЕОМЕТ (рисунок 6), где

• Число успехов в выборке: количество успешных испытаний в выборке, в нашем случае – количество дефектных изделий в выборке.

• Размер выборки: вводится размер выборки.

• Число успехов в совокупности: количество успешных испытаний в генеральной совокупности. В нашем случае это количество дефектных изделий в партии.

• Размер совокупности: вводится объём партии.

Рисунок 6 – Расчет вероятностей появления в выборке 0 и 1

Найдем P(q) по формуле:

Вносим данные в рабочий лист и находим AOQ и n_cp по формулам указанным ранее. И строим графики оперативной характеристики (рисунок 2), функций AOQ (рисунок 3) и n_cp (рисунок 4).