§24. Приближенные вычисления.

Задача 1. Вычислить приближенное значение суммы

1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ...

Считаем, что нужное приближение получено, если вычислена сумма нескольких слагаемых, и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше, чем данное малое положительное число .

Для решения задачи мы должны выполнить следующие действия:

1) получить очередное слагаемое (назовем его а);

2) сравнить абсолютную величину слагаемого а с  и, в зависимости от результата сравнения, либо продолжить, либо прекратить вычисления.

Program p;

var a: real;

x : real;

 : real;

i : integer;

S : integer;

begin

readln(x, );

i:=1;

a:=1;

S:=0;

WHILE a> DO

begin

S:=S+a; i:=i+1; a:=a*x/i;

end;

writeln(‘приближенное значение суммы=’,S:4:2)

end.

Задача 2. Рассмотрим часто встречающуюся задачу приближенного решения уравнения f(x)=0, где f(x) - заданная функция. Решить уравнение - значит найти такое значение х^*, при котором f(x^*)=0. Поиск решения осуществляется на интервале [a;b], причем f(a)<0, а f(b)>0. Используем метод деления пополам. Находим точку с=(а+b)/2 - середина отрезка. Если f(c)>0, то границу b изменяем на значение с, а если f(с)<0, то изменяем а. Процесс продолжаем, пока длина интервала не будет меньше заданной точности.

Y

f(x)

0 a c b X

Пусть f(x)=x²-2, т.е. мы попытаемся найти значение квадратного корня из 2.

program popolam;

const eps=1.0E-3;

var a,b,c:real;

Function eg(x,y:real):boolean;

begin

Eg:=Abs(x-y)<eps

end;

Function F(x:real):real;

begin

F:=Sgr(x)-2

end;

BEGIN

Writeln(‘введите интервал’); readln(a,b);

if F(a)*F(b)>0 then writeln(‘на этом интервале мы не можем

найти решение уравнения’)

else begin

while Not Eg(a,b) do

begin c:=(a+b)/2;

if F(c)>0 then b:=c else a:=c

end;

writeln(‘Результат ’,a)

end;

readln

end.

Можно с помощью этой программы решить уравнения :

x²-6x+5=0 x-cosx=0 x-lnx-2=0 2x³-9x²-60x+1=0

Y

0 a x₁ x₂........ x_n-2 x_n X

Задача 3. Пусть непрерывная положительная на отрезке [a,b] (a<b) функция. Вычислим площадь фигуры, ограниченную графиком функции f(x), осью х и прямыми х=а и х=b. Для этого разобьем отрезок [a,b] на n равных отрезков одинаковой длины x=(b-a)/n a=x₀<x₁<...<x_i<x_i+1<....<x_n=b

На каждом из отрезков [x_i,x_i+1] как на основании, построим прямоугольник с высотой f(x_i).

Площадь прямоугольников мы умеем находить. Сумма площадей всех прямоугольников даст приближенное значение площади фигуры:

S_приб=(b-a)/n*(f(x₀)+....f(x_n-1))

Естественно, что чем мельче будет разбиение, тем точнее мы подсчитаем площадь фигуры.

Для отладки программы возьмем функцию f(x²) на отрезке [1,2]. Площадь фигуры равна 2,333....

program trapez;

const eps=1.0E-3;

var a,b,s,dx :real;

i,n : integer;

Function eg(x,y:real):boolean;

begin

Eg:=Abs(x-y)<eps

end;

Function F(x:real):real;

begin

F:=Sgr(x)

end;

BEGIN

Writeln(‘введите интервал и число частей для разбивки’); readln(a,b,n);

x:=a; dx:=(b-a)/n; s:=0;

For i:=1 to n-1 do

begin

s:=s+F(x);

x:=x+dx;

end;

writeln(‘Результат = ’,(b-a)/n*s);

readln;

end.

Вычислить площадь криволинейных трапеций для следующих функций: f(x)=1/(1+x) [0,1] f(x)=1/x [1,3]

f(x)=sinx [0,/2]

Задача 4. Для вычисления элементарных функций в математике широко распространено представление этих функций в виде некоторых бесконечных сумм. Не вдаваясь в обоснование таких представлений, приведем некоторые их них :

e^x=1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n! + ...

sinx=x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! +...+ (-1)ⁿx^2n-1/(2n+1)! +....

cosx= 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! +...+ (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! +....

ln(1+x)=x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...+ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n + ..... (-1<x<=1)

В каждом из разложений точность представления функции будет, вообще говоря, тем выше, чем больше взято слагаемых в сумме. Причем значения самих слагаемых с ростом n стремятся к нулю. Для вычисления значений функции с некоторой заданной точностью  поступают следующим образом. Вычисляют и суммируют слагаемые до тех тор, пока очередное слагаемое не станет по абсолютной величине меньше  или абсолютное значение разности между соседними слагаемыми не станет меньше . Полученную сумму и принимают за приближенное значение функции.

Вычисли функцию sinx.

Program rad;

const eps=1.0E-3;

var x,sn,ss : real;

p, n : integer;

{p - используется для чередования знака слагаемого}

Function Eg(x,y;real):boolean;

begin

Eg:=Abs(x-y)<eps

end;

Function F(n:integer;var x:real):real;

var i:integer;

s:longint;

begin

s:=1;

for i:=2 to n do s:=s*i;

x:=x*sqr(x); F:=x/s

end;

BEGIN

writeln(‘Введите значение х’);

readln(x);

ss:=0; sn:=x; n:=1; p:=1;

Repeat

ss:=sn; {предыдущее значение слагаемого}

{ новое значение слагаемого}

n:=n+2; p:=-1*p; sn:=ss+p*F(n,x)

Until Eq(ss,sn) or (n>=12);

Writeln(‘Результат=’,sn); readln

end.

Задача 5. Метод Монте-Карло для приближенного вычисления площади.

Пусть есть какая-нибудь фигура на плоскости, расположенная внутри стандартного квадрата со сторонами параллельными координатным осям.

Пусть про любую точку квадрата мы можем быстро узнать, попадает ли эта точка внутрь фигуры или нет.

Для выбора точек используют случайные числа Random(x)

Если вызвать функцию много раз подряд, то множество полученных чисел будет равномерно распределено по отрезку [0,a]

Program ss;

var n: integer; {количество точек}

a : integer; {длина стороны квадрата}

m, i : integer;

x,y : real;

begin

writeln(‘введите кол-во точек и сторону квадрата’);

readln(n,a);

m:=0;

for i:=1 to n do

begin

x:=Rondom(a); y:=Random(a);

if точка(x,y) внутри квадрата then m:=m+1

end;

S:=(m/n)*a*a

writeln(‘Результат ’,s);

end.