Примеры

• Если  , где   то 

• Если  , где   фиксированные постоянные и  , то 

• Если  , то 

21. Параметрическое задание функции

Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/d/0/cd004fa5fdece58be66e74d526c95889.png" \* MERGEFORMATINET    INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/3/e73f988948226c27a6c4b93ad20a7034.png" \* MERGEFORMATINET

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается через параметрическое как^[1]:

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/0/8/a082e458b75dff17b09327b0fca4ad23.png" \* MERGEFORMATINET

и производная функции может быть вычислена как

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/0/2/602c89742d58fb16d5860b736a750d74.png" \* MERGEFORMATINET

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

22. Основные элементарные функции.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных

элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи­

сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де­

ления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Основными элементарными функциями являются:

1) Показательная функция у = аХ, а > О, а =f. 1. На рис. 104 пока­

заны графики показательных функций, соответствующие различным

основаниям степени.

2 ) Степенная функция у = х"', а: Е JR. При меры графиков сте­

пенных функций, соответствующих различным показателям степени,

предоставлены на рис. 105.

З) Логарифмическая функция у = loga х, а > О, а =j; 1; Графики

логарифмических функций, соответствующие различным основаниям,

п оказаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у =

= ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у =

= arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики

обратных тригонометрических функций.

23. Тригонометри́ческие фу́нкции 

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). 

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус ( )

• косинус ( )

производные тригонометрические функции

• тангенс ( )

• котангенс ( )

другие тригонометрические функции

• секанс ( )

• косеканс ( )

определение.

• Синусом называется отношение 

• Косинусом называется отношение 

• Тангенс определяется как 

• Котангенс определяется как 

• Секанс определяется как 

• Косеканс определяется как 

24. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции 

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение  — это угол, синус которого равен  )

• арккосинус (обозначение:   — это угол, косинус которого равен   и т.д.)

• арктангенс (обозначение:  ; в иностранной литературе  )

• арккотангенс (обозначение:  ; в иностранной литературе   или  )

• арксеканс (обозначение:  )

• арккосеканс (обозначение:  ; в иностранной литературе  )

25. Алгебраические и Трансцендентные функции 

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/7/a/f/7affebc0072f302fbb7319447f693e37.png" \* MERGEFORMATINET  называется алгебраической в точке  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/e/7/c/e7cfd3794e1bc1ab9dc394528f1138a3.png" \* MERGEFORMATINET , если существует окрестность точки  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/a/b/4abe8fb1774f88862791e2e81e61b2bd.png" \* MERGEFORMATINET , в которой верно тождество

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/7/a/97a02788239c3fe0155dc50cbdd75917.png" \* MERGEFORMATINET

где  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/9/1/c91d7b8dea9c56347ed1d460ee88fe3d.png" \* MERGEFORMATINET  есть многочлен от  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b85027598d87611b1c8d5d11e46812.png" \* MERGEFORMATINET  переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция.

Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.

Так, например,  ;   и   имеют существенно особую точку   (где   обозначает вершину сферы Римана — бесконечно удалённую точку комплексной плоскости),   — точки ветвления бесконечного порядка при   и  .

Основания общей теории трансцендентных функций даёт теория аналитических функций. Специальные трансцендентные функции изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т. д.).

26. Преде́л фу́нкции. Определение предела по Коши.

1. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

27. Геометрическая интерпретация предела функции. Примеры.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех ххо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Доказать, что

Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

28. Односторо́нние преде́лы

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).