35. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если   — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

Свойства эквивалентных бесконечно больших функций.

1. Если   и   – эквивалентные бесконечно большие функции при  x → a, то их разность имеет меньший порядок роста.  Действительно,

2. Если   и   – бесконечно большие функции одного и того же порядка при  x → a, то   и     являются эквивалентными бесконечно большими функциями:

Иначе говоря, бесконечно большие функции   и   асимптотически пропорциональны при  x → a.

3. Если бесконечно малая   имеет меньший порядок роста по сравнению с   при  x → a, то

   

В таких случаях говорят, что   – пренебрежимо малая величина по сравнению с  .

36. Теорема о связи понятия конечного предела функции и бесконечно малой функции.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция   имеет предел  , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при  .

Доказательство. Необходимо показать, что

 <=> f(x)-A  б.м. функция при  .

Так как  , то

   , для   будет выполняться неравенство  .

Сравним это с определением б. м. функции:

   , для   будет выполняться неравенство  .

Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f(x)-A  -  б.м. при  .

37. Сравнение бесконечно малых функций.

 

Пусть   б.м. функции  при  . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции   и   называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции   и   называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  ;

4)  l= , то функция   называется б.м. более высокого порядка, чем  .

П ример 1.  ,   ,

,

 и   - эквивалентные б.м. функции.

Пример 2.   =х³,

=х,

,

,

 - б.м. функция более высокого порядка, чем  .

38. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Б.м. функции   и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  , если 

Обозначают:   при  .

Функции   и   называют эквивалентными бесконечно малыми при  , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть   - бесконечно малая при  .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве 

Пример.

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин   и  .

Решение.

Вычислим предел отношения этих величин 

Используя одно из свойств логарифма получим 

Поэтому предел примет вид:

Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:

Проведем замену переменных  . Так как   - бесконечно малая функция при  , то  , следовательно,  .

Поэтому предел примет вид:

Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

39. теорема о Пределе функции в точке.

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Число A называется пределом функции f(x) при x → x0 (или в точке x0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x0| < δ, справедливо неравенство

|f(x) − A| < ε, т.е. lim x → x0 f(x) = A ЬЮ " ε > 0 $ δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ Ю |f(x) − A| < ε.

Определение предела функции по Коши

Определение

Число   называется пределом функции   в точке  , если для     такое, что для  из того, что   следует, что   :   или  при   .