Определение предела функции по Гейне

Определение

Число   называется пределом функции   в точке  , если для любой последовательности  , которая сходится к  , соответствующая последовательность значений функции  сходится к  .

40. раскрытие неопределенностей относительно алгебраических функций.

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь   — бесконечно малая величина, а   — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;

2. замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;

3. правило Лопиталя;

4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Для раскрытия неопределённостей типа   используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа   существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа   иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть   и 

41. Первый замечательный предел. Его следствия.

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°   

42. Второй замечательный предел. Его следствия.

Второй замечательный предел:

Следствия из второго замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°   

5°   

6°   

43. Таблица эквивалентных б.м. функций

44. Непрерывность функции в точке. Определения. Примеры.

Определение

Функция   называется непрерывной в точке  , если:

1. функция   определена в точке   и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

замечание. При нахождении предела функции  , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. 

Ответ. 

45. Непрерывность функции в точке слева и справа. Определения. Примеры.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называетсянепрерывной в этой области.

Функция   называется непрерывной справа в точке  , если  .

Функция   называется непрерывной слева в точке  , если  .

Пример. Функция   является непрерывной справа в точке  , слева же от этой точки она вообще не определена.

46. Приращение аргумента и функции.

Приращение аргумента – разность между двумя значениями аргумента («новым» и «старым»). Обычно обозначается через х: х = x₁ – x₀

Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:

• ∆f= f(x0 +∆x) – f(x0).

………………………

Из графика видно, что приращение аргумента это  всего лишь разность между двумя числами, одно из которых соответствует х₁  ,а другое x₀ . А численно приращение аргумента равно длине отрезка   Δx.

И, соответственно, приращение функции это разность между двумя числами, одно из которых соответствует y₁  ,а другое y₀ . А численно приращение функции равно длине отрезка   Δy.