4) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

30. Последовательность. Определение предела числовой последовательности. Примеры.

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространстваназывают элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространствеокрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегральногоисчислений.

Обозначение: 

(читается: предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a)

Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

31. Монотонные и ограниченные последовательности.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

 ограниченная 

Последовательность  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET  называется ограниченной сверху, если существует такое число  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1098.png" \* MERGEFORMATINET  , что для любого номера  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET  ,  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1099.png" \* MERGEFORMATINET

Последовательность  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET  называется ограниченной снизу, если существует такое число  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1100.png" \* MERGEFORMATINET  , что для любого номера  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET  ,  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1101.png" \* MERGEFORMATINET

Последовательность  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET  называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET  , что для любого номера  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET  ,  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1103.png" \* MERGEFORMATINET

Последовательность  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1089.png" \* MERGEFORMATINET  называется неограниченной, если существует такое число  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1102.png" \* MERGEFORMATINET  , что существует такой номер  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_128.png" \* MERGEFORMATINET  , что  INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1104.png" \* MERGEFORMATINET

32. Теорема Вейерштрасса о достаточном признаке суще-

ствования предела числовой последовательности

Теорема 5.1 (теорема Вейерштрасса – достаточный признак суще-

ствования предела числовой последовательности). Любая монотонная

ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема Вейерштрасса является типичной теоремой существования, т.е.

она гарантирует существование предела у данной последовательности, но не

даѐт способа его отыскания.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество   пространства   имеет по крайней мере одну предельную точку в  .

Более подробно, это означает, что существует точка  , всякая окрестность   которой содержит бесконечное число точек множества  .

33. Определение предела функции на языке последовательностей(по Гецйне).