Раздел 6. Основные законы гидродинамики. Основные понятия и определения гидродинамики (4 час.).

Тема 6.1. Расход жидкости. Средняя скорость движения жидкости Уравнения неразрывности для сжимаемой и несжимаемой жидкости (2 час.).

При исследовании движения жидкости по методу Эйлера ее геометрическими характеристиками являются линии тока.

Частичка жидкости при движении может изменять свою форму при сохранении своего объема и массы Частица может двигаться поступательно или вращательно, при этом по сравне­нию с твердым телом она деформируется.

Расходом жидкости называется количество жидкости, про­ходящей через живое сечение, за единицу времени.

Для любого сечения элементарной струйки udω = const.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки при установившемся движении утверждает, что элементарный расход во всех сечениях струйки постоянен.

Уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

Скорости движения в разных сечениях струйки, согласно, обратно пропорциональны элементарным площадям жи­вых сечений струйки.

=0

Полученное уравнение — дифференциальное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости при р = const.

Общий объемный расход жидкости для потока жидкости ко­нечных размеров в целом будет представлять собой сумму эле­ментарных расходов струек

Для упрощения определения расхода потока жидкости вво­дится понятие о средней скорости. Принимается условие, что скорости струек по всему живому сечению потока постоянны,

К определению средней скорости

u_i = const. Таким образом, все частицы жидкости, проходящие через площадь ω, имеют одинаковую скорость u = V.

Объему фигуры, ограниченной параболой вращения, соответ­ствует объем цилиндра, высота которого равна средней скорости

Тема 6.2. Уравнение д.Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости и потока реальной жидкости. Интерпретация уравнения Бернулли. (2 час.)

Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений. Представим трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу в любом ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, откуда

ω₁υ₁ = ω₂υ₂.

Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:

.

Уравнение неразрывности в гидродинамике – одно из уравнений, выражающее закон сохранения массы для любого объёма движущейся жидкости (газа).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β.

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: 1-1 и 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры – тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту _. В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении (1-1 и 2-2) установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубкой Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечениями 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию.

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений (1-1 и 2-2) потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

.

Сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, поэтому полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z₁ и z₂ – удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;

и – удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;

и – удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя можно заметить, что z₁ и z₂ – геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения;

и – пьезометрические высоты;

и – скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

При движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии.

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

.

По мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается. Уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или несколько величин подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости

υ₁ω ₁ = υ₂ω₂.