§ 2. Матрицы и действия над ними.

1. Матрицы. Основные определения и обозначения.

Определение 2.1 . Прямоугольная таблица чисел (элементов), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера mn:

Более краткое обозначение A_mn=(a_ij), где в обозначении элементов a_ij первый индекс i указывает номер строки i = 1, 2, … , m, второй индекс j – номер столбца i = 1, 2, … , n. Если обозначить через j – й вектор-столбец, а через - i-ю вектор–строку, то матрица представима векторами:

,

где квадратные скобки введены для удобства, чтобы записать столбец « горизонтальным » способом.

Матрицы одинакового размера считаются равными, если их соответствующие элементы равны.

Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой матрицей.

Произведением матрицы A = (a_ij) на число  называется матрица А=(a_ij), все элементы которой умножены на число .

Суммой двух матриц одинаковых размеров А=(a_ij)_mn, B=(b_ij)_mn, называется матрица С = А+В = (a_ij+b_ij)_mn тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А–В определяется равенством А–В=А+(-1)В.

Легко видеть, что справедливы соотношения:

1. (А+В) = А+В, 2. (+β)А = А+βА,

3. (β)А =  (βА), где А, В – матрицы одного размера, , β – числа.

Получаем следующий факт: совокупность матриц одного размера {A_mn} есть линейное (векторное) пространство, обозначим его L_A ≡ L_Amn = {A_mn}.

Пример 1. Пусть: ,

тогда A+2B=

При m=n матрица A_nn≡A_(n) называется квадратной порядка n.

Квадратную матрицу D = , где d_i числа не все равные нулю, называют диагональной. Если d₁=d₂= … =d_n=1, то матрицу называют единичной и обозначают Е.

Произведением двух матриц специального размера A_mrB_rn называется матрица C_mn, у которой элемент c_ij, стоящий на пересечении i–ой строки и j-го столбца, равен скалярному произведению i-ой строки матрицы А на j-й столбец матрицы В: C_mn = A_mrB_rхn ,

c_ij =  = a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_irb_rj

(i=1, 2, … m; j=1, 2, …, n).

Замечание 1. Операция умножения АВ двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В.

Замечание 2. Умножение АВ выполнимо всегда, если матрицы квадратные одного порядка. Причем даже в этом случае может быть АВ ≠ ВА. Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими). Естественно определяются степени матриц: A² = AA, A³ = AAA = A²A.

Пример 2.

1).

(1, 2, 0) =(1, 2, 0)[2, 3, -2]=12+23+0(-2)=8.

c₁₂=  =(1, 2, 0)  [0, -1, 1]=0–2–0=2

c₂₁=  =(3, 4, 1)  [2, 3, -2]=6–12–2=16

с₂₂=  =(3, 4, 1)  [0, -1, 1]=0–4+1=32).

2).

3).

Для матриц соответствующих размеров, в частности квадратных, справедливы соотношения:

1. (AB)C = A(BC);

2. (A+B)C = AC+BC;

3. A(B+C) = AB+AC.

Это позволяет рассматривать многочлены от квадратных матриц: a_nAⁿ+a_n-1A^n-1+…+a₂A²+a₁A+a₀E (a_i – числа), другие функции от матриц, и проводить с ними различные алгебраические операции.

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники, теории устойчивости и т.д., имеет разнообразные приложения.