3.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы.

Здесь будет описано понятие ранга матрицы, на основе чего будет дан критерий разрешимости системы линейных уравнений.

Пусть ранг линейного отображения : Xⁿ→Y^m ( размерность подпространства образов (Xⁿ) ) равен r=r( ), т.е. существует максимально r линейно независимых векторов , , …, или другими словами имеется r линейно независимых строк матрицы отображения (см.(5)) , r≤n. В силу изоморфизма равенств = ↔ = А∙ существует r линейно независимых векторов = А∙ , = А∙ , …, = A∙ или, иначе, имеется r линейно независимых строк матрицы преобразования координат A_mхn ( r ≤ m), получающейся из матрицы отображения транспонированием ( заменой строк столбцами, = A_mхn ).

Поэтому, естественно принять по определению, что ранг матрицы A=A_mхn равен рангу соответствующего линейного отображения:

: Xⁿ→Y^m , r(A)=r( ).

Из вышеприведенных рассуждений следует второе, эквивалентное первому, определение ранга матрицы.

Ранг матрицы – это максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Справедливы соотношения: 1) r(A^Т)=r(A),^*) 2) r(_Amхn) ≤ min{m, n}, т.е. ранг матрицы меньше или равен наименьшему из чисел m, n.

В дальнейшем нам понадобится следующее определение.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1. перестановка строк (столбцов) матрицы;

2. умножение какой - либо строки (столбца) на не равное нулю число;

3. прибавление к какой–либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Можно доказать, что при элементарных преобразованиях матрицы ранг матрицы не меняется.

Определение. Матрицы А и В называются эквивалентными А  В, если эти матрицы имеют один и тот же ранг: r(A) = r(B).

Применяя элементарные преобразования, любую матрицу можно привести к эквивалентной матрице треугольного ( диагонального или ступенчатого – ниже (выше) главной диагонали все элементы матрицы равны нулю ) вида. Тогда справедлива следующая теорема, позволяющая легко находить ранг матрицы.

Теорема 4. Ранг матрицы треугольного (ступенчатого) вида равен числу ненулевых строк матрицы.

Аналогичная теорема справедлива для вектор–столбцов матрицы.

Пример 1. Ранг тождественного отображения : Xⁿ→Y^m (при любых соотношениях между n и m) равен n : r( ) = r(E_n) = n (см. пример 1, п. 2.).

Пример 2. Ранг дифференциального оператора : P_n-1→ →P_n-2 равен (n-1) : = r(D_(n-1)хn))= r(D_(n-1))= n-1 (см. пример 3, п. 2).

Пример 3. Найдем ранг матрицы

.

Приведем матрицу к эквивалентной матрице треугольного вида следующими элементарными преобразованиями (обозначения аналогичны обозначениям преобразований с определителями, см. §2, п. 2):

,

r(A) = r(B) = 2 (по строкам). Значит, в матрице А только две вектор–строки (любые) линейно независимы.

Установим этот факт, оперируя со столбцами

отсюда r(A) = r(B) = r(С) = 2 (по столбцам). Очевидно, в матрице С только 2 вектора (строки или столбцы): =(1, 0, 0), =(0, 1, 0) линейно независимы. Это же справедливо и для матрицы А. Заметим, например, что 3-й вектор–столбец есть линейная комбинация первых двух: ст₃ = 2·ст₂–ст₁.

Пример 4. Докажем, что векторы = (4; 1), = (-2; 3) образуют базис пространства А² (см. § 1, п. 5, пример 6).

Составим матрицу А, записав, например, векторы строками и найдем ее ранг:

.

Отсюда r(A) = r(B) = 2 и имеем два линейно независимых вектора, которые в 2-мерном пространстве образуют базис.