4. Линейные комбинации векторов. Подпространство.

Под линейными комбинациями векторов , , …, понимаются векторы вида

₁ +₂ + …+_n ,

где ₁, ₂, … _n – произвольные числа из R.

Если все числа _i(i=1, 2,…, n) равны 0, то имеем тривиальную линейную комбинацию – нулевой вектор .

Определение 4.Пусть в векторном пространстве Х имеется множество векторов Х₀Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  , Х₀  + Х₀;

2)  Х₀, R Х₀,

тогда множество Х₀ называется подпространством (линейным многообразием) векторного пространства Х.

Если в векторном пространстве выбрать некоторое множество векторов, то всевозможные конечные линейные комбинации векторов образуют некоторое подпространство векторного пространства, которое называется подпространством, порожденным этим множеством векторов.

Если подпространство, порожденное некоторым множеством элементов векторного пространства, совпадает с самим пространством, то такое множество называется системой, порождающей пространство. В этом случае любой вектор пространства может быть представлен линейной комбинацией системы векторов.

Примером является система векторов , , …, , порождающая пространство Aⁿ и представляющая любой вектор Aⁿ в виде линейной комбинации: = х₁ +х₂ +…+x_n , где x_i – числа.

Заметим, что вектор – нуль всегда принадлежит подпространству.

5. Размерность, базис абстрактного векторного пространства. Координаты вектора.

Определение 5. Векторы , , …, из векторного пространства Х называются линейно независимыми, если равенство

₁ +₂ +…+_n = (6)

имеет место только когда все числа ₁=₂=… _n= 0. В противном случае, то есть когда равенство выполняется при существовании чисел из ₁, ₂, …, _n не равных одновременно нулю, векторы , , …, называются линейно зависимыми.

Если векторы , , …, линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Например, если в (6) ₂0, то

Определение 6. Пространство Х называется конечномерным, а число n – размерностью (рангом, числом измерений) этого пространства, если в Х существует n линейно независимых векторов, в то время как любые n+1 векторов из Х линейно зависимы. Если же в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В этой главе мы будем иметь дело в основном с конечномерными пространствами Xⁿ. Размерность (« dimension ») обозначается dim X.

Определение 7. Система из n линейно независимых заданных в определенном порядке векторов , , …, в n – мерном пространстве Хⁿ называется базисом этого пространства.

Пусть – произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы , , , …, линейно зависимы (ибо число их равно n +1) и справедливо равенство ₀ +₁ +₂ +…+_n = , где, по крайней мере, ₀0, так как векторы , , …, не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому:

=х₁ +х₂ +…+x_n (7)

где числа х_i= , i=1, 2, …, n , однозначно определяются заданием вектора и базиса , , …, . В самом деле, если наряду с (7) имеется другое разложение вектора по базису:

=х₁ +х₂ +…+х_n (7)

то вычитая почленно (7) из (7), получим (х₁–х₁) +(х₂–х₂) +…+(x_n–x_n) , откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует х₁–х₁=х₂–х₂=…=x_nx_n=0, то есть х₁=х₁, х₂=х₂, …, x_n=x_n.

Числа х₁, х₂, …, х_n в (7) называются координатами вектора в базисе , , …, , что кратко записывается так: (х₁, х₂, …, х_n) в базисе , , …, .

Слагаемые в (7) называют компонентами вектора .

Может возникнуть вопрос, нельзя ли, например, в трехмерном пространстве найти базис из меньшего числа векторов. Оказывается, что нет – для любого векторного пространства Xⁿ, имеющего базис из n элементов, и любой другой базис этого пространства состоит из n элементов (доказательство не приводим).

Пример 1. Докажем, что ортонормированные векторы , , …, арифметического пространства Aⁿ линейно независимы, а значит, в n – мерном пространстве образуют базис. Размерность пространства Aⁿ, а значит и Rⁿ, равна n.

Согласно определению равенства векторов, векторное равенство (6) в нашем случае имеет вид ₁ +₂ +…+_n = и эквивалентно в координатной форме следующей системе скалярных равенств: ₁= 0, ₂= 0, … _n= 0, что доказывает линейную независимость векторов , , …, и наше утверждение, так как любой вектор = (х₁, х₂, …, х_n) пространства Aⁿ есть линейная комбинация векторов , , …, : .

Пример 2. Рассмотрим систему векторов = 3х+5, = 2х1, порождающую пространство Р₁ = { + } = {(3x+5)+(2x–1)} = {(3+2)x+(5–)} = {ax+b}, где переменная хR, a = 3+2, b = 5–; , R.

Это линейное пространство многочленов не выше 1–ой степени. Любой элемент - многочлен вида р(х) = aх+b, элемент нуль = 0х+0.

Покажем, что векторы , линейно независимы (геометрически – это графики двух пересекающихся прямых). Равенство (6) имеет вид: ₁ +₂ = или ₁(3x+5)+₂(2x–1) = 0х+0, (3+2)x+(5–)} = 0х+0, что эквивалентно системе

Отсюда  = 5; подставляя в первое уравнение, имеем 3+10 = 0,  = 0, а значит и  = 0.

Из определения пространства Р₁ очевидно, что любой вектор = aх+b есть линейная комбинация линейно независимых векторов и ,см. (7):

aх+b = x₁ +x₂ (8).

Значит, векторы , образуют базис пространства Р₁ и его размерность равна 2.

Расписывая равенство (8): (3х₁+2х₂)х+(5х₁–х₂)=aх+b ,получим систему уравнений которая имеет единственное решение: - координаты вектора в базисе , .

Конкретно, вектор = х+6 будет иметь координаты (1, -1), вектор = 3х+5 - координаты (1, 0) в базисе = 3х+5, = 2х–1.

Пример 3. Пусть независимые переменные х, у и коэффициенты С, А, В принимают числовые значения из R. Рассмотрим множество П₂ выражений вида С+Ах+Ву, обращающихся в нуль при х = 2, у = -1 (другими словами, являются решениями систем уравнений вида С+Ах+Ву=0 : П₂={С+Ах+Ву:C+2A–1B=0}.

Геометрически на плоскости z = 0 ( ХОУ )это есть пучок прямых, проходящих через точку (2, -1).

Множество П₂ - векторное пространство, так как умножая такие выражения на произвольные числа и складывая их (то есть образуя линейные комбинации), мы будем получать выражения такого же типа. Элемент нуль имеет вид = 0 + 0х + 0у.

Покажем, что выражения (элементы, вектора) =х–2, =у+1 образуют базис в пространстве П₂, а значит размерность его равна 2.

Согласно равенству (6) будем иметь: ₁ +₂ = или подробно: ₁(х–2)+₂(у+1)= 0+0х+0у, (₂–2₁)+₁х+₂у = 0+0х+0у. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений решение которой есть ₁= 0, ₂= 0, что доказывает линейную независимость векторов , . Покажем, что произвольный элемент = (х, у)П₂ есть линейная комбинация векторов , : (х, у) = С+Ах+Ву = С+А(х–2+2)+В(у+1–1) = =С+А(х–2)+В(у+1)+2А–В = А(х–2)+ В(у+1)+С+2А–В =А +В . Значит, векторы , образуют базис пространства П₂ и справедливо разложение по базису произвольного вектора (см. (7)): (х, у)  С+Ах+Ву=А +В . В этом базисе вектор имеет координаты (А; В).

Например, выражение 3х+5у–1 имеет координаты (3; 5) и справедливо разложение по базису 3х+5у-1 = 3 +5 .

Однако заметим, например, что выражение 2х+3у–1 не принадлежит векторному пространству П₂.

Пример 4. (Аналогично примеру 1 показывает существование « хорошего » базиса).

Пусть значения переменной хR. Система из (n+1)–го элемента = 1, = х, = х², ..., = xⁿ порождает векторное пространство многочленов не выше n–ой степени

Р_n = {₀ +₁ +₂ +…+_n } ={₀+₁x+₂x²+…+_nxⁿ}, где произвольные числа _iR, i=1, …, n. Нулевой элемент пространства P_n :

= 0+0х+0х²+…+0хⁿ.

Элементы , , …, линейно независимы, так как равенство ₁ +₂ + … + _n+1 = или ₁+₂x+₃x²+ … +_n+1xⁿ = 0+0х+0х²+ … +0xⁿ справедливо только тогда, когда ₁=₂=₃= … =_n+1 = 0.

Любой вектор (многочлен n–й степени) есть линейная комбинация линейно независимых векторов: (х) = ₀ + ₁x + ₂x₂ +…+ +_nxⁿ=₀ +₁ +₂ +…+_n , значит, векторы , , …, образуют базис пространства Р_n, и вектор имеет координаты (₀, ₁, ₂,…,_n). Размерность пространства P_n равна n+1.

Пример 5. Покажем, что векторы = х²+2х–3, = х²–5х+4, = 3х²+5х–8 линейно зависимы и не могут образовать базис пространства Р₂ (см. пример 4), размерность которого 3.

Согласно (6) распишем равенство ₁ +₂ +₃ = .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим однородную систему уравнений, , которая, кроме нулевого решения  ₁= ₂ = ₃ = 0, имеет и другие, например решение (₁; ₂; ₃)=(20; 1; -7), что доказывает наше утверждение.

Пример 6. Докажите, что векторы =(4; 1), =(-2; 3), образуют базис пространства А². Найдите координаты вектора =(-1; 5) в этом базисе.

Так как пространство А² размерности 2, то достаточно доказать линейную независимость векторов , . Распишем согласно (6) равенство ₁ +₂ = . Имеем:₁(4; 1)+₂(-2; 3) = (0; 0) или Однородная система имеет единственное нулевое решение ₁ = 0, ₂ = 0 , так как определитель системы не равен нулю.

Это означает, что векторы , линейно независимы и образуют базис в А², то есть любой вектор можно однозначно представить (см.(7)) в виде: х₁ +х₂ = .

Расписывая равенство покоординатно, для определения координат х₁, х₂ получим систему: Отсюда получим: х₁=0,5, х₂=1,5; вектор имеет координаты = (0,5; 1,5) в базисе из векторов , .

Пример 7. Векторное пространство всех многочленов P_∞={р(х): р(х)=₀+₁х+₂х²+… _nxⁿ, _iR, i=0, 1, … n; n – произвольное неотрицательное целое число} бесконечномерное, так как всегда можно найти линейно независимую систему, состоящую из любого числа элементов, например, 1, х, х², …, хⁿ, n - произвольное натуральное число (см. пример 4, где n – фиксировано), что и требовалось доказать.

Пример 8. По аналогии с пространством Аⁿ(п. 1) рассмотрим пространство А^∞ = {x : x= (₁, ₂, … _n, …), _iR}, элементами которого являются всевозможные упорядоченные бесконечные наборы вещественных чисел ₁, ₂, … . Аналогичным образом определим операции над элементами. Пространство А^∞ уже будет бесконечномерным. Если предположить, что бесконечномерные пространства изоморфны пространству А^∞ (см. п. 6), то нетрудно понять, что между бесконечномерными и конечномерными пространствами есть много общего.