6. Изоморфизм векторных пространств.

Определение 8. Под изоморфизмом или изоморфным соответствием между двумя векторными пространствами Х и Y понимается взаимно однозначное соответствие  между множествами всех элементов (векторов) одного и другого пространства, сохраняющее линейные операции, а именно: если  ,  , то +  + ,   при R.

Рисунок 1.

В частности, при =0 будем иметь 0 0 или  , что при изоморфизме пространств их нулевые вектора соответствуют друг другу.

Также распространяя изоморфное соответствие на n - слагаемых при  ₁, ₂, … _nR, имеем: ₁ +₂ + … +_n ₁ +₂ + … +_n .

Это означает, что при изоморфизме пространств линейно независимые (зависимые) системы векторов одного пространства соответствуют линейно независимым (зависимым) системам другого. Отсюда следует, что любые два изоморфных между собой пространства имеют одинаковое количество базисных векторов, то есть одну и ту же размерность.

Обратно тоже верно: любые два пространства Xⁿ и Yⁿ одинаковой размерности изоморфны.

Достаточно для каждого из них, например, Хⁿ установить изоморфизм с n–мерным арифметическим пространством Aⁿ. Пусть , , … – произвольный базис пространства Xⁿ. Тогда каждый вектор Xⁿ однозначно записывается в виде (см. (7)) = х₁ +х₂ + … +х_n . Ставя ему в соответствие вектор Aⁿ, =(х₁, х₂, …, х_n),  , мы и получаем искомое изоморфное соответствие между пространствами Xⁿ и Aⁿ с учетом того, что линейные операции при этом сохраняются. Это действительно так. Пусть дан еще вектор = x₁ +x₂ + … +x_n Xⁿ. Так как при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: + =(х₁+х₂) +(х₂+х₂) + … +(х_n+x_n) , а при умножении на число  все координаты вектора умножаются на это число:  = x₁ +x₂ + … +x_n , то очевидно: +  + ,    , что и требовалось установить для окончания доказательства.

Нами доказана теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности.

Теорема 1. Для того чтобы два конечномерных векторных пространства были изоморфны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же размерность.

Приведем примеры изоморфных пространств: Р₁  П₂  А²; Р_n  Аⁿ⁺¹ (см. примеры 2, 3, 4 п. 5).

В заключение подчеркнем, что хотя с точностью до изоморфизма существует только одно n-мерное векторное пространство, например Aⁿ, рассмотрение абстрактного пространства Xⁿ оправдано тем, что аксиоматическое определение векторного пространства непосредственно выделяет свойства векторов (элементов), не зависящие от выбора базиса. Например, равенство нулю всех координат вектора, есть свойство самого вектора, оно не зависит от выбора базиса. А положительность всех координат вектора не есть свойство самого вектора, так как при изменении базиса оно исчезает (см. пример 6 п. 5).

§ 3. Линейные отображения (операторы).

1. Основные понятия и определения.

Линейное пространство L(X, Y).

В геометрии исключительно важную роль играют преобразования: сдвиг, поворот, растяжение и другие (на плоскости или в трехмерном пространстве), обладающие тем свойством, что сумму векторов они переводят в сумму их образов, а произведение вектора на число  - в произведение образа вектора на . Обычно их называют линейными отображениями, они играют ведущую роль среди всех отображений.

Определение. Пусть Х и Y – векторные пространства над числовым полем R. Поставим в соответствие каждому вектору Х некоторый вектор у из пространства Y, который обозначим через А , говорят, что задано отображение (оператор) , отображающее Х в Y (обозначают: : Х→Y или = ). Если для любых , из Х и R выполняются равенства

( ) =  ( ), (свойство однородности)

( + )= + , (свойство аддитивности)

то отображение называют линейным отображением (линейным оператором).

Можно объединить оба равенства в эквивалентное им одно:

( +β ) =  +β , , βR.

Линейные отображения : Х→Y, В : Х→Y мы назовем равными, если для любого Х А =Вх.

Элементы вида образуют подпространство пространства Y, называемое пространством образов при отображении : Х→Y, и обозначают символом (Х) = { : Х}, (Х)  Y.

Если (Х) = Y, то называется отображением Х на Y.

При линейном отображении нуль–элемент пространства Х обязательно переходит в – нуль–элемент пространства Y: = ( – ) = – = , но возможно, и другие элементы ≠ отображаются в нуль–элемент .

Поэтому, определим множество прообразов элемента , которое назовем ядром линейного отображения : Х→Y и обозначим:

Н ≡ ( ) = { Х : = Y}, Н  Х.

Ядро Н также является (линейным) подпространством пространства Х (докажите самостоятельно).

Если линейное отображение не взаимно однозначно (Н ≠ { }), то при = всякий вектор , для которого = , имеет вид = + , где – некоторый вектор ядра Н. Множество векторов ={ = + : H} называется многообразием (гиперплоскостью) параллельным подпространству Н (по-другому, сдвигом подпространства Н на вектор ); при = , = Н. При ≠ , не есть подпространство.

Размерность ядра Н называют дефектом отображения А и обозначают d( ) или : d( ) = dimH, ( d(A) ≤ dimX ).

Если ядро Н = { } (d(A)=0) состоит только из нуль-элемента , то отображение : Х → (Х) – взаимно однозначное отображение Х на пространство образов (Х). Существует обратное (тоже линейное) отображение : (Х) → Х или = , = ( = ,  Х ).

Если дополнительно предположим, что (Х) = Y , то имеем линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство Y, то есть изоморфизм, который устанавливает изоморфное соответствие между пространствами Х и Y ( : Х↔Y) (см. п. 6). Естественно, в этом случае = ,  X, обратно, = ,  Y и справедливы равенства: ( ) = , ( ) = или = , = , где , -тождественные (единичные) операторы: = ,  X , = ,  Y.

Проиллюстрируем сказанное на рисунке:

Y

A

H

H

X

а) Линейное отображение А из Х в Y.

б) Изоморфизм Х и Y.

Рисунок 2.

Образы n линейно независимых элементов пространства Х при линейном отображении в пространство Y в общем случае не будут линейно независимыми; но справедлива следующая

Теорема 1. Если в пространстве Y образы ( ), ( ), … , ( ) линейно независимы, то соответствующие r элементов , , … , пространства Х линейно независимы в Х.

Естественно, справедлива эквивалентная ей (обратная противоположной)

Теорема 2. Если , , … , линейно зависимы в Х, то их образы , , … , при отображении также линейно зависимы.

Действительно, пусть, например, вектор есть линейная комбинация остальных векторов: = ₂ , … , ₃ + … +_r , _iR, тогда в силу линейности отображения , имеем: = ₂ +₃ +…+_r , что означает линейную зависимость векторов–образов.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если линейное отображение : Хⁿ→Y, то подпространство (Хⁿ) пространства Y имеет размерность, не большую n:

dim A(Xⁿ)≤n.

В случае : Х→Y^m подпространство (Х)Y имеет размерность не большую m: dim (X) ≤ m; в частности, при (Х) = Y^m размерность dim (X)=m.

Определение. Рангом отображения : Х→Y называют размерность пространства образов (Х) и обозначают r( ) : r( )=dim (X).

Очевидно, если линейное отображение : Xⁿ→Y^m , то справедливо неравенство: r( ) = dim (Xⁿ) ≤ min{m;n}, то есть ранг отображения А меньше или равен наименьшему из чисел m, n; отображает Хⁿ на некоторое r - мерное подпространство (Хⁿ) пространства Y^m ( r ≤ min{m, n}).

Без доказательства сформулируем следующую теорему.

Теорема 4. Если линейное отображение : Х→Y, то справедлива формула: r( )+d( ) = dimX (ранг +дефект = размерность Х).

В частности, при : Хⁿ→Y имеем r( )+d( ) = n.

Над линейными отображениями можно производить некоторые операции: их можно умножать на число , можно складывать, в определенных случаях перемножать.

Сформулируем определения этих операций.

Если : Х→Y и R, то  обозначает линейное отображение, при котором для любого Х ( ) =  .

Так как Y, то  = ( ) Y, значит,  : Х→Y. Покажем, что отображение  – линейное. Имеем для  , Х, , βR:  ( +β ) = ( ( +β )) =  ( +β ) =  +β =

= ( ) +β( ) , что доказывает сказанное.

Если : Х→Y, Х→Z, то + обозначает линейное отображение, при котором для  Х

( + ) = + .

Аналогично предыдущему легко убедиться, что + является линейным отображением и + : Х→Y.

Если : Х→Y, : Y→Z, то (произведение отображений, операторов или композиция) обозначает линейное отображение, при котором для  Х ( ) = ( ).

Покажем, что : Х→Y. Действительно, если Х, то Y и, так как : Y→Z, то ( )=( ) Z. Нетрудно показать, что является линейным отображением.

Очевидно, что умножение линейных отображений не коммутативно.

Можно показать, достаточно лишь проверить выполнение аксиом, что совокупность линейных отображений (операторов) : X→Y относительно определенных выше операций сложения и умножения на число сами образуют векторное (линейное) пространство, которое мы обозначим (X, Y) ≡ L(X, Y).

Нуль–элементом этого пространства является нулевой оператор θ, переводящий элементы пространства Х в нуль–элемент пространства Y.

Отметим, что если существуют произведения и , то существуют и произведения ( ) и ( ) , причем ( ) = ( ) (ассоциативность произведения).