Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится или предел равен бесконечности.

Замечание. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

1. , тогда существует  , существует  , для любого  . Ряд из   сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из   сходится (по признаку сравнения).

2. , тогда существует  .   для любого  . Тогда   не стремится к нулю и ряд расходится.

Примеры

• Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных  , так как

• Ряд

расходится при всех  , так как

• Если  , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

    и    

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.

8. Разложение в ряд Тейлора функций cos x, ln (1+x)

9. Признак Лейбница сходимости числового ряда

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1.  для всех 

2. 

Доказательство.

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда   и  .

Первая последовательность убывает:   по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность возрастает:  .

Первая последовательность мажорирует вторую, а именно, для любых   имеет место неравенство

,

поэтому они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что  , поэтому они сходятся к общему пределу  , который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда   имеет место оценка  .

10. Интеграл с параметром. Непрерывность

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область  , на которой определена функция   двух переменных.

Пусть далее,  .

Функция   и называется интегралом, зависящим от параметра.

Пусть функция   непрерывна в области   как функция двух переменных. Тогда функция   непрерывна на отрезке  .

Доказательство  [скрыть]

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. 

.

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть 

.

Следовательно,   при  , что и означает непрерывность функции

11. бета-функцией ( -функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при  ,  .

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где   — Гамма-функция;

;

;

,

где   — нисходящий факториал, равный  .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

,

где   — дигамма-функция.

12. Применение бета-функции и гамма-функции к вычислению интеграла

13. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

Признак Вейерштрасса

Рассмотрим ряд: 

Пусть существует последовательность   такая, что для любого   выполняется неравенство  , кроме того, ряд   сходится. Тогда ряд   сходится на множестве   абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

14. Гамма-функция. Элементарные свойства

Если вещественная часть комплексного числа   положительна, то Гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

Основное свойство гамма-функции это её рекуррентное уравнение

которое, при фиксированном начальном условии, единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию. Теорема о единственности. Для Г-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

.

И формула умножения Гаусса:

Частный случай которой при n=2 был получен Лежандром:

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости.   является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюса в точках   Гамма-функция имеет полюс первого порядка в   для любого натурального   и нуля; вычет в этой точке задается так

.

Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и  , где   часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

.

15. Обобщения формулы Лагранжа. (Теорема Коши)

Если функции   и   непрерывны на отрезке  , дифференцируемы на интервале (a,b), причем   во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка   такая, что  .