Доказательство

Рассмотрим функцию  , где число   выберем таким, чтобы выполнялось равенство  , которое равносильно следующему: .

Заметим, что  , так как в противном случае согласно Теореме Роллясуществовала бы точка   такая, что   вопреки условиям данной теоремы. Из равенства   следует, что  .

Так как функция   при любом   непрерывна на отрезке   и дифференцируема на интервале  , а при значении  , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках   и  , то по теореме Ролля существует точка   такая, что  , т.е.  , откуда  . Из этого равенства и формулы   следует  .

1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши  .

2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

16. Равномерная сходимость несобственного интеграла

17. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла

18. Дифференцируемость функции f. Дифференцируемость и частные производные

19. ТЕОРЕМА 3 КРИТЕРИЙ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД  Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки   функция f (x) разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы   

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 

Если ряд Тейлора сходится к S(x) ≠ f (x) , то из равенств   

следует, что   . 

Если же S(x) = f (x), то, очевидно,  . 

ТЕОРЕМА 4 ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД  Если функция f и все её производные ограничены в совокупности на интервале  , т.е. существует такая постоянная M > 0, что для всех и всех n=0,1,2,… выполняется неравенство  , 

то функция f представляется рядом Тейлора (10), сходящимся в каждой точке интервала . 

20. Непрерывность несобственного интеграла по параметру

21. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара

Круг сходимости степенного ряда   — это круг вида

,  ,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при  , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда  , и может совпадать со всей плоскостью переменного  , когда  .

Радиус сходимости[править | править вики-текст]

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

Эта формула выводится на основе признака Коши.

22. Производная по направлению. Градиент. Экстремальное свойство градиента

Теорема: Экстремальное свойство градиента

— дифф. в   — направление Тогда   указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а   самого быстрого убывания. Более того:   напр.   равенство достижимо для

Доказательство:

//  //

23. Разложение в ряд Тейлора функций e^x, (1+x)^a

24. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении

Если функция f(x) непрерывна в интервале I, а≤х≤b, не исключая также и конечных точек интервала а и b, то в интервале I должна существовать по крайней мере одна точка, в которой функция f(x) достигает своего наибольшего значения М, и другая точка, в которой функция f(x) достигает своего наименьшего значения m.

Доказательство: Разобьем интервал I на два замкнутых полуинтервала I' и I" и фиксируем наше внимание на I', как на интервале, в котором следует искать наибольшее значение функции f(х), если только в интервале I" не найдется такой точки α, что f(α) больше всех значений функции f (x) в интервале I'; в этом последнем случае мы выберем интервал I". Тот интервал, который мы выбрали, обозначим через I₁. Поступим теперь с интервалом I₁ точно так же, как мы поступали с I; пусть при этом получим интервал I₂ и т. д. Этот процесс определит последовательность I₁, I₂, ..., I_n, ... вложенных интервалов, которые все содержат некоторую точку z. Мы докажем, что значение функции в этой точке f(z) = М есть наибольшее из всех значений функции f(х), достигаемых в исходном интервале, т. е. что не может существовать такой точки s, что f(s)> М. Предположим, что нашлась бы точка s, удовлетворяющая условию f (s) = = М + 2ε, где ε есть некоторое (может быть, и очень маленькое) положительное число. В силу непрерывности функции f(х) мы можем точку z окружить маленьким интервалом К, не захватывающим точки s, и притом таким, что в интервале К значения функции f(х) отличаются от f(z) = М меньше, чем на ε, так что в нем мы непременно будем иметь f(х)<М + ε. Но при достаточно больших n интервал I_n лежит внутри интервала К, а вместе с тем интервал I_n был определен так, что ни одно значение f(х) при х, лежащем вне интервала I_n не может превзойти значений функции f(x) в точках х из этого интервала. Но точка s лежит вне интервала I_n и в ней f(s)> М + ε, тогда как в интервале К, а тем самым в интервале I_n мы имеем f(х)<M + ε. Таким образом, мы пришли к противоречию. Существование по крайней мере одного наименьшего значения m может быть доказано тем же самым методом; впрочем, оно является следствием предыдущего, так как наименьшее значение функции f(х) является наибольшим значением функции g(x) = - f(x).