25. Степенные ряды. Первая теорема Абеля

Т: Пусть   — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости  .

Если ряд   является сходящимся, тогда:

.

Доказательство

Заменой переменных  , можно считать  . Также (необходимым подбором  ) можно предположить  . Обозначим   частичные суммы ряда  . Согласно предположению   и нужно доказать, что  .

Рассмотрим  . Тогда (приняв  ):

Отсюда получается  .

Для произвольного   существует натуральное число  , что   для всех  , поэтому:

Правая часть стремится к   когда   стремится к 1, в частности она меньше   при следовании   к 1.

26. Необходимое условие экстремума

27. Признак сравнения рядов в предельной форме

Если   и   есть строго положительные ряды и

,

то при   из сходимости   следует сходимость  , а при   из расходимости   следует расходимость  .

Доказательство

Если   то для достаточно больших 

Из ограниченности частных сумм   следует ограниченность частных сумм   Соотношения   обеспечивают на основании признака сравнения сходимость   и вместе с тем сходимость   Если же   то   и   не может сходиться при расходящемся 

28. Дифференцируемость вектор-функции

29. Равномерная сходимость функционального ряда и интегрируемость

30. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости

31. Частные производные. Связь с непрерывностью функции

32. Равномерная сходимость и дифференцируемость функциональных рядов

33. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора

34. Интегральный признак Коши - Маклорена

35. Интегрирование по параметру в несобственном интеграле

36. Повторные пределы. Теорема о повторных пределах (для функции двух переменных)

37. Аналитические свойства степенных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость) Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Пусть ряд   — радиус сходимости. Тогда: 1) Для   ряд   равномерно сходится в круге  2) В круге   сумма ряда   — непрерывна.

Доказательство:

(1) Признак Вейерштрасса  — сходится! т.к.   — абс. сх. (2) фиксируем  ; Возьмём  В   ряд р. сх. и слагаемые непр.   сумма непрерывна.

38. Достаточное условие дифференцируемости (непрерывность частных производных)

39. Достаточное условие экстремума (функция двух переменных)

40. Теорема о неявной функции (одномерный случай)

41. R^p как метрическое пространство. Неравенство Коши - Шварца

42. Функции нескольких переменных. Предел функции в точке

43. Теорема о промежуточных значениях

44. Теорема о дифференцировании по параметру в несобственном интеграле

45. Условный экстремум. Геометрическое доказательство в R³

46. Необходимое условие условного экстремума (метод множителей Лагранжа)

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции  , где  , относительно   ограничений  , где   меняется от единицы до  .