Описание метода
Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции
и
функций 
,
взятых с коэффициентами,
называемыми множителями
Лагранжа — 
:
где 
.
Составим систему из
уравнений,
приравняв к нулю частные
производные функции
Лагранжа 
по 
и
.Если полученная система имеет решение относительно параметров
и 
,
тогда точка 
может
быть условным экстремумом, то есть
решением исходной задачи. Заметим, что
это условие носит необходимый, но не
достаточный характер.
Д вумерный случай
Линии
уровня 
и
кривая 
.
Пусть
требуется найти экстремум некоторой
функции двух переменных 
при
условии, задаваемом уравнением 
.
Мы будем считать, что все функции
непрерывно дифференцируемы, и данное
уравнение задает гладкую кривую
на
плоскости 
.
Тогда задача сводится к нахождению
экстремума функции
на
кривой
.
Будем также считать, что
не
проходит через точки, в
которых градиент
обращается
в 
.
Нарисуем
на плоскости
линии
уровня функции
(то
есть кривые 
).
Из геометрических соображений видно,
что экстремумом функции
на
кривой
могут
быть только точки, в которых касательные к
и
соответствующей линии уровня совпадают.
Действительно, если кривая
пересекает
линию уровня
в
точке 
трансверсально (то
есть под некоторым ненулевым углом), то
двигаясь по кривой
из
точки
мы
можем попасть как на линии уровня,
соответствующие большему значению
,
так и меньшему. Следовательно, такая
точка не может быть точкой экстремума.
Тем
самым, необходимым условием экстремума
в нашем случае будет совпадение
касательных. Чтобы записать его в
аналитической форме, заметим, что оно
эквивалентно параллельности градиентов функций
и 
в
данной точке, поскольку вектор градиента
перпендикулярен касательной к линии
уровня. Это условие выражается в следующей
форме:
где 
—
некоторое число, отличное от нуля, и
являющееся множителем Лагранжа.
Рассмотрим
теперь функцию
Лагранжа ,
зависящую от 
и
:
Необходимым
условием ее экстремума является равенство
нулю градиента 
.
В соответствии с правилами дифференцирования,
оно записывается в виде
Мы
получили систему, первые два уравнения
которой эквивалентны необходимому
условию локального экстремума (1), а
третье — уравнению
.
Из нее можно найти 
.
При этом 
,
поскольку в противном случае градиент
функции
обращается
в нуль в точке 
,
что противоречит нашим предположениям.
Следует заметить, что найденные таким
образом точки
могут
и не являться искомыми точками условного
экстремума — рассмотренное условие
носит необходимый, но не достаточный
характер. Нахождение условного экстремума
с помощью вспомогательной функции 
и
составляет основу метода множителей
Лагранжа, примененного здесь для
простейшего случая двух переменных.
Оказывается, вышеприведенные рассуждения
обобщаются на случай произвольного
числа переменных и уравнений, задающих
условия.