Тема 3. Интеральное исчисление

Основная задача дифференциального исчисления заключается в нахождении производной от заданной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу: дана функция , требуется найти функцию , такую, что . Функция при этом называется первообразной для функции .

Определение 11. Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство .

Пример. Найдём первообразные для функции . , так как . Функции и также являются первообразными для функции . Вообще, любая функция вида , где , является первообразной для функции .

Вывод: Если функция - первообразная для функции , то любая функция вида , где , также является первообразной для .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределённым интегралом от функции и обозначается :

, где .

Для вычисления неопределённых интегралов используют таблицу основных интегралов, правила интегрирования и методы интегрирования.

Таблица неопределенных интегралов

1. , где .

2. , .

3. , где , .

4. , .

5. , .

6. , где , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , где , .

14. , где , .

15. , где , .

16. , где , .

Правила интегрирования

1. .

2. , где .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

, где .

4. Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов этих функций:

.

Методы вычисления неопределённых интегралов

1) Метод разложения (метод непосредственного интегрирования): основан на применении 3 и 4 правил интегрирования.

Примеры: 1) ;

2) .

2) Метод замены переменной (метод подстановки): основан на формуле

.

Метод замены переменной применяют в двух случаях: 1) если интеграл похож на табличный, но аргументом выступает не , а линейное выражение, зависящее от ; 2) если подынтегральное выражение содержит функцию и её производную.

Примеры: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3) Метод интегрирования по частям: основан на формуле

,

где и - дифференцируемые функции от . Эта формула позволяет вычисление интеграла свести к вычислению интеграла , который может оказаться более простым для интегрирования.

Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида , , , , , где - многочлен, зависящий от . Для их вычисления следует положить равной одной из выше указанных функций, а .

Примеры: 1)

;

2)

.

2. Интегралы вида , , , где - многочлен, зависящий от , - число. Для их вычисления следует положить , , , соответственно.

Пример:

.

3. Интегралы вида , , где и - числа, вычисляются двукратным применением метода интегрирования по частям.

Пример:

Выписывая начало и конец равенства, получаем

,

откуда

.