Определённый интеграл

Определение 12. Пусть функция определена и ограничена на отрезке и - произвольное разбиение этого отрезка на элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке выбрана точка , тогда сумма

называется интегральной суммой функции на отрезке , а её предел при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается

Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке .

Для вычисления определённого интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: определённый интеграл от непрерывной на отрезке функции равен приращению любой её первообразной на этом отрезке:

.

Пример: .

Основные свойства определённого интеграла

1) .

2) .

3) Каковы бы ни были числа , имеет место равенство .

4) Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

, где .

5) Определённый интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) определённых интегралов этих функций:

.

6) Теорема о среднем: если функция непрерывна на отрезке , то найдётся такое значение из этого отрезка, что .

7) Если функция чётная, то , а если нечётная, то .

8) Замена переменной в определённом интеграле: , где новые пределы интегрирования находятся из условий , .

Примеры: 1) ;

2)

9) Интегрирование по частям в определённом интеграле: .

Пример:

.

Определённый интеграл применяется для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг, объёмов тел.

Приложения определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Рассмотрим частные случаи вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

1. Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная снизу отрезком оси , сверху графиком непрерывной функции , принимающей неотрицательные значения на отрезке , а с боков отрезками прямых , .

Рис. 5

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх.

Рис. 6

.

2. Отражённая криволинейная трапеция.

Рис. 7

Площадь отражённой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси .

Рис. 8

3. Фигура, состоящая из двух криволинейных трапеций.

Рис. 9

Площадь фигуры, состоящей из двух криволинейных трапеций, вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Рис. 10

IV. Фигура, заключённая между двумя криволинейными трапециями.

Рис. 11

Площадь фигуры, заключённой между двумя криволинейными трапециями, вычисляется по формуле .

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Рис. 12

.

5. Криволинейная трапеция, стоящая на оси - фигура, ограниченная графиком функции , осью и прямыми , .

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле .