14. Колебания лопаток
14.1. Изгибные колебания. Получение системы дифференциальных уравнений
Допущения:
- лопатку рассматриваем как закрученный стержень переменного сечения;
- отсутствует связь изгибных и крутильных колебаний;
- ось лопатки проходит через центры тяжести всех сечений и нерастяжима;
- при колебаниях все сечения остаются плоскими и перпендикулярными упругой линии (гипотеза Кирхгофа – Лява).
Примем систему
координат OXYZ,
начало которой O
расположено в центре тяжести корневого
сечения, оси X и
Y совпадают с
главными центральными осями инерции
корневого сечения (пусть
),
ось Z направлена
по оси лопатки. Оси вспомогательной
системы координат
параллельны осям главной системы
координат, начало
находится в центре тяжести текущего
сечения. Выделим в лопатке бесконечно
малый элемент высотой dz
(рис. 14.1).
Рис.14.1. Бесконечно малый элемент лопатки
и динамические силы, приложенные к нему при изгибных колебаниях
Рассмотрим условия равновесия элемента с учетом сил инерции
и
,
где
и
- упругие смещения в направлении осей
X и Y.
Знак волны над переменной означает то,
что она зависит от времени.
В направлении оси
,
откуда
(14.1)
Из условия равновесия
в направлении оси
аналогично получаем
(14.2)
Вокруг оси :
.
Приводя подобные и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получаем
.
(14.3)
Вокруг оси :
.
Приводя подобные и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получаем
.
(14.4)
Установим связь моментов и углов поворота сечений. В плоскости OXZ (рис. 14.2)
Рис.14.2. Изгиб оси лопатки в плоскости OXZ
1 – положение сечения в равновесном состоянии; 2 - положение изогнутой оси лопатки;
3 - касательная к изогнутой оси лопатки в месте расположения сечения.
Из рис. 14.2 видно, что
С учетом знаков момента и угла поворота
(14.5)
Рис.14.3. Изгиб оси лопатки в плоскости OYZ
1 – положение сечения в равновесном состоянии; 2 - положение изогнутой оси лопатки;
3 - касательная к изогнутой оси лопатки в месте расположения сечения.
В другой плоскости из рис. 14.3 видно
(14.6)
.
Сечение лопатки
поворачивается вокруг осей X
и Y. Из рис. 14.4
видно, что (с учетом знаков углов поворота)
перемещение произвольной точки сечения
в направлении оси Z
вследствие поворота сечения вокруг оси
X составляет
,
Рис.14.4. Поворот сечения лопатки в плоскостях OXZ и OYZ
вследствие поворота сечения вокруг оси Y составляет
.
Есть также
перемещение
в направлении оси Z
сечения в целом, связанное с перемещением
его центра, точки О1 . Полное
перемещение точки
в направлении оси Z
.
Согласно формулам Коши
.
Тогда напряжение в окрестности точки
.
Это напряжение создает бесконечно малые моменты вокруг осей (рис. 14.5)
Рис. 14.5. Определение знаков моментов сил от напряжения на бесконечно малой площади dF
,
.
Полный момент
В первое слагаемое входит статический момент вокруг оси . Поскольку – главная ось инерции, этот момент равен нулю. Во второе слагаемое входит момент инерции относительно оси , в третье – центробежный момент инерции. Таким образом,
Аналогично:
Поскольку деформации лопатки при колебаниях малы, будем считать, что оси главной и вспомогательной систем координат приблизительно параллельны. Тогда
;
, моменты инерции тоже приблизительно
одинаковы.
Запишем два последних уравнения в матричной форме.
.
Обозначив матрицу как [A] , получим
.
Пусть матрица
имеет вид
. Тогда
(14.7)
(14.8)
Уравнения (14.1)…(14.8) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающих изгибные колебания лопатки:
Параметры в первых четырех уравнениях, а именно: qx ; βy ; My ; Qx имеют отношение к плоскости OXZ, поэтому первые четыре уравнения описывают колебания в плоскости OXZ, а последние четыре – определяют колебания в плоскости OYZ. Связь между колебаниями в этих плоскостях осуществляется через коэффициент axy при Mx и My. Если лопатка не слишком закрученная, то оси и приблизительно совпадают с главными осями инерции во всех сечениях, в таком случае центробежные моменты инерции близки к нулю, коэффициент axy = 0 и связь между колебаниями в плоскостях OXZ и OYZ отсутствует. В этом случае
;
.
Рассмотрим колебания в плоскости OXZ, т. е. только первые четыре уравнения. Их решение будем искать в гармоническом виде (где p – собственная частота колебаний):
После подстановки в дифференциальные уравнения получаем:
Из первого уравнения
.
Подставим это во второе уравнение,
получим
.
Подставив в третье уравнение, получим
.
Подставив в четвертое уравнение, получим
.
Окончательно получили дифференциальное
уравнение четвертого порядка
.
Обозначим
.
Тогда
,
.
Решение уравнения четвертого порядка - сумма четырех линейно независимых частных решений.
Частными решениями
уравнения являются
,
,
а также гиперболические косинус и синус
В решение будем подставлять их суммы, которые называются функциями Крылова.
,
,
,
.
Преимущество этих функций состоит в том, что при дифференцировании они переходят друг в друга: dS/dz = V ; dT/dz = S ; dU/dz = T; dV/dz = U.
При этом S(0)=1; T(0) = U(0) = V(0) = 0.
Подставим решение
вида
в полученные уравнения.
,
,
.
Неизвестные постоянные С1, С2, С3, С4 определяются из граничных условий.