14.2. Колебания консольно закрепленной лопатки

Система имеет по две степени свободы (перемещение и угол поворота) на каждой из границ, соответственно, необходимы по 2 граничных условия на каждую границу.

При z=0 при консольном абсолютно жестком закреплении q_x=0; _y=0 .

;

;

откуда следует

.

Также

,

откуда следует

.

При z=l на свободном краю лопатки ; . Подставив в решение, получим

.

Или

.

Эта однородная система уравнений имеет решения, если ее определитель равен нулю.

Это имеет место при , где

K₁=1,875 ,

K₂=4,69 ,

K₃=7,8

и т.д.

Поскольку _i=K_i/l ,

.

Это уравнение определяет бесконечное количество собственных частот колебаний, каждой из которых соответствует своя форма колебания (форма колебания – это распределение относительных перемещений по колеблющемуся телу). Первая, вторая и третья формы изгибных колебаний приведены на рис. 14.6.

Рис.14.6. Первая, вторая и третья формы изгибных колебаний

14.3. Влияние податливости консольного закрепления на собственные частоты колебаний лопатки

Рассмотрим случай, когда закрепление исключает линейные перемещения, но податливо с жесткостью C_m для угловых перемещений.

На краю z=0 имеет место q_x=0, откуда C₁=0.

Закрепление создает момент _.

Поскольку ,

,

получаем

.

При z=l на свободном краю лопатки M_y(l)=0; Q_x(l)=0 . Подставив в решение, получим

.

Объединив эти уравнения с предыдущим, получим систему из трех уравнений для определения С₂;C₃;C₄.

Если C_m=0 (это соответствует шарнирному замку лопатки), то частота первой изгибной формы равна нулю, то есть первая изгибная форма колебаний отсутствует. В этом состоит преимущество применения шарнирного замка (который, однако, имеет больший вес). Остальные формы изгибных колебаний сохраняются, но частоты их уменьшаются (рис. 14.7).

Рис. 14.7. Влияние податливости консольного закрепления

на собственные частоты колебаний лопатки

14.4. Крутильные колебания лопаток

Лопатку будем рассматривать как стержень постоянного сечения. Допустим, что центр тяжести и центр жесткости во всех сечениях лопатки совпадают, и кручение не зависит от изгиба.

Крутящий момент вокруг оси z

,

откуда , (14.9)

где G – модуль сдвига, а момент инерции на кручение

,

где b – длина хорды лопатки, функция описывает корытце лопатки, а - спинку (рис. 14.8). Если сечение близко к круглому, - полярному моменту инерции.

Рис. 14.8. Расчет момента инерции на кручение

На бесконечно малый элемент лопатки действует также момент от сил инерции

,

где массовый момент инерции

.

Тогда

Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента лопатки (рис. 14.9):

Рис.14.9. Бесконечно малый элемент лопатки

и приложенные к нему динамические силы при крутильных колебаниях

,

откуда

(14.10)

Уравнения (1.9) и (1.10) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающих крутильные колебания лопатки. Решение будем искать в гармоническом виде

,

.

Подставив решение в уравнения (14.9) и (14.10), продифференцировав и сократив на , получим

,

.

Выразив из первого уравнения и подставив его во второе, получим

.

Обозначим , тогда , и

.

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид

.

Постоянные найдем из граничных условий.

В каждом сечении лопатка имеет одну степень свободы, поэтому получаем по одному граничному условию на каждой границе лопатки.

При z=0 при консольном абсолютно жестком закреплении , откуда следует

.

При z=l на свободном краю лопатки .

.

Это эквивалентно условию , , где n=1,2,3…

Значению соответствует частота колебаний и распределение углов поворота по лопатке вида (рис. 1.10, вверху). Это – первая крутильная форма колебаний. Ее узловая линия расположена вдоль лопатки.

Рис. 14.10. Узловые линии при крутильных колебаниях лопатки

Значению соответствует частота колебаний и распределение углов поворота по лопатке вида (рис. 14.10, внизу). Это – вторая крутильная форма колебаний. Ей соответствует еще одна узловая линия поперек лопатки. По разные стороны этой линии колебания происходят в противоположных направлениях.