Свободное падение тел.

Будем рассматривать падение тел вблизи поверхности Земли (в случае других небесных тел принципы и подходы аналогичные). Для начала изучим простейший случай: падение тел, без учета вращения и возможного внутреннего движения тела. Да и само тело будем рассматривать как материальную точку, тем более что во многих случаях даже планеты можно считать материальными точками.

В случае одномерного движения, т.е. движения по одной пространственной координате, уравнения движения материальной точки имеют следующий вид:

скорость , (1)

где y(t) – путь, пройденный точкой (здесь и далее подразумевается материальная точка), он же соответственно и координата.

ускорение (2)

Величины скорости и ускорения здесь кинематические, т.к. не рассматриваются причины, их вызывающие. Если скорость – это изменение радиус-вектора (или приращения пути) в единицу времени, то ускорение, соответственно, - это изменение скорости движения материальной токи или тела за единицу времени; оно обусловлено действием на объект некой результирующей силы. Результирующая сила – векторная величина, находится из векторной суммы всех сил, действующих на тело:

.

Второй закон Ньютона определяет понятие ускорения как:

(3)

где F – равнодействующая сила,

m – инертная масса (масса, не зависящая от скорости движения тела).

В общем случае сила зависит от координаты, скорости и времени. Движение материальной точки не зависит от ( ) и (тот факт, что можно найти простое объяснение для движения, является свойством природы, а не математического описания). Сведя уравнения (1) и (2) в одно, получим:

(4)

Вернемся к падению тел. «Свободным падением» называют движение, при котором отсутствует сопротивление воздуха. В этом случае все тела, независимо от массы, размеров, состава, строения, находящиеся на одинаковом расстоянии от поверхности Земли, имеют одинаковое ускорение. Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли, и вблизи Земли оно составляет величину g  9.8 м/с². Решив уравнение (4), имеем (с учетом того, что a=g):

, (5)

, (6)

где V_o – начальная скорость точки (тела),

y_o – начальная координата.

Из уравнений (5) и (6) видно, что для определения движения необходимо задать начальные условия.

В более сложном случае, с учетом гравитационного поля Земли, ускорение свободного падения не является постоянным, а зависит от расстояния тела до центра Земли. И тогда сила притяжения будет равна:

, (7)

где G – постоянная всемирного тяготения (или гравитационная постоянная), равная 6.6710^-11 Нм²/кг²,

M – масса Земли, которая составляет 5.9810²⁴ кг,

R – средний радиус Земли, равный 6.3810⁶ м.

Преобразовав уравнение (7) (с учетом того, что GM/R² = g), получим:

. (8)

Усложним задачу еще: учтем сопротивление воздуха, которое обусловливает появление тормозящей силы. По определению тормозящая сила направлена противоположно движению тела. Надо заметить, что начинать решение физических задач или моделирования физических процессов (объектов) необходимо с построения схематического рисунка.

Р езультирующая сила F равна: F=mg–F_среды. (9) Если сила тяжести больше силы сопротивления, то тело будет падать.



В общем случае зависимость силы сопротивления среды от скорости надо определять эмпирически, проводя конечную серию наблюдений положения тела. Одним из способов определения функции F_ср от V является измерение координаты y как функции времени t и получения зависимости скорости и ускорения от времени. Но в этом методе изначально заложены большие погрешности, связанные с измерением наклона зависимостей y(t) (для нахождения скорости и ускорения). Другой способ представляет собой обратную процедуру. Для функции F_ср предполагается некий вид зависимости от скорости V, и по этой формуле находят функцию y(t). Если вычисленные значения функции y(t) согласуются с экспериментальными значениями, то предложенная зависимость F_ср(V) считается экспериментально подтвержденной.

Общий вид зависимости силы сопротивления среды от скорости:

, (10)

где и – коэффициенты пропорциональности, зависящие от свойств среды и геометрии тела. Очевидно, что они не могут быть постоянными и различны для каждой конкретной пары тело – среда. Выражение (10) – феноменологическое, приближенно описывающее переменную (в общем случае) в ограниченном диапазоне параметров, но никак не законы физики. В данном случае тормозящая сила является переменной, а скорость - параметром. Сила сопротивления растет с увеличением скорости тела, при чем при достаточно малых скоростях преобладает линейная зависимость силы сопротивления от скорости, а при больших – квадратичная. Корректнее говорить о преобладании какой-либо составляющей, т.к. обе составляющие силы сопротивления присутствуют всегда, но при высоких скоростях движения тела квадрат скорости растет быстрее и слагаемым можно просто пренебречь (кстати, одно из допущений), при небольших скоростях наоборот, слагаемое не вносит значимого вклада в силу сопротивления. Коэффициент к₁ определяется свойствами среды и формой тела, рассчитать его можно по формуле Стокса:

, (11)

где r – линейный размер тела, например радиус шарика,

 - динамическая вязкость среды, табличная величина (при Т=20^оС и Р=1 атм  воздуха составляет 0.0182 Нс/м², воды – 1.002 Нс/м², глицерина – 1480 Нс/м²).

Величина пропорциональна площади сечения тела, поперечного по отношению к потоку, плотности среды и зависит от формы тела. Выражение для обычно имеет вид:

, (12)

где с – безразмерный коэффициент лобового столкновения,

S – площадь поперечного сечения тела,

_ср – плотность среды.

При достижении достаточно большой скорости движения тела, когда образующиеся за обтекаемым телом вихри жидкости или газа начинают интенсивно отрываться от тела, значение параметра (с) в несколько раз уменьшается.

Значения «с» для некоторых форм тел.

диск с = 1.11

◗ полусфера с = 1.33

◖ полусфера с = 0.55

шар с = 0.4

каплевидное с = 0.045

тело

каплевидное тело с = 0.1

В случае, когда сила сопротивления равна силе тяжести, результирующее ускорение равно нулю, что соответствует предельной или установившейся скорости. Из выражений (10) – (12) можно вычислить ее значение для каждого конкретного случая. По уравнениям (9) – (10) составим следующее выражение:

(13)

Определив из условия равенства результирующей силы нулю можно получить следующее выражение для силы сопротивления:

(14)

Тогда результирующую силу можно записать, как:

(15)

Приравнивая выражение (13) нулю, можно определить предельную скорость, решив квадратное уравнение. По второму закону Ньютона ускорение тела при движении есть производная от скорости по времени: . Интегрируя это уравнение, можно найти закон изменения скорости и соответственно ее численное значение. Перемещение тела во времени находится, интегрируя уже полученное выражение для скорости, т.к. скорость – это производная перемещения по времени: . Таким образом, формальная запись уравнения для определения перемещения или же координаты, что одно и то же, имеет вид:

(16)

Аналитическим методом это уравнение решить вряд ли удастся, поэтому применим стандартные математические приемы, заменив интеграл суммой, воспользовавшись одним из численных методов. В данном случае применим метод Эйлера, но сначала несколько преобразуем последнее выражение.

, (17)

где t – малое приращение времени. Следующим этапом будет нахождение перемещения, в случае падения тела движение является одномерным и совершается по координате у, поэтому здесь мы можем заменить перемещение координатой у:

(18)

Будем рассматривать скорость и координату как конечные значения V и y некоего малого отрезка времени через значения скорости и координаты, начальные для этого отрезка, т.е.:

, (19)

где Δt – малое единичное приращение времени,

- конечное время,

- начальное время,

- число шагов или приращений или отрезков времени.

Тогда выражения для скорости и пути (координаты) примут следующий вид:

(20)

, (21)

где V_n+1 и y_n+1 -скорость и координата в конечной точке временного отрезка, V_n и y_n - скорость и координата в начальной точке временного отрезка,

a_n – ускорение в начальной точке временного отрезка, т.е. вычисляем конечную скорость из начального ускорения.

Напишем программу для одномерного движения, результаты расчетов выведем в виде таблицы, графика, траектории падения, а также можно изобразить динамическую картинку. Необходимо учесть, что шаг моделирования очень маленький, и при выводе результатов в виде таблицы на экране все они не поместятся, поэтому при написании подпрограммы для вывода таблицы можно шаг интегрирования взять более «грубым», нежели при построении графика. Таким образом, структура программы должна представлять собой набор подпрограмм, отвечающим конкретным этапам моделирования.

Прежде, чем перейти к следующей теме, остановимся на некоторых наиболее используемых в компьютерном моделировании, численных методах решения уравнений, т.к., как уже было сказано, большинство физических и химических процессов описываются нелинейными уравнениями.