Решение систем нелинейных уравнений.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0 заключается в отыскании одного или всех корней на отрезке [a,b] изменения x. Обычно стараются локализовать каждый корень в своем отрезке [a,b]. Тогда нахождение всех корней сводится к локализации каждого корня с последующим сужением отрезков локализации корня [a,b] одним из известных методов.

 метод простых итераций основан на представлении f(x)=0 в виде x=f(x) и многократном применении итерационной формулы x_n+1 = f(x_n) до тех пор, пока соблюдается условие: |x_n+1-x_n|  , где  - заданная погрешность определения корня x_ср. Итерация (лат.) – результат применения какой-либо математической операции, получающийся в серии аналогичных операций. Итерационный процесс сходится, т.е x_n  x_ср при n  , если соблюдается условие f’(x)<1 при a<x<b.

 метод Ньютона (метод касательных) основан на замене F(x) в точке начального приближения x=x_o на касательную, пересечение которой с осью x дает первое приближение x₁ и т.д. Таким образом, итерационный процесс схождения к корню реализуется формулой: x_n+1=x_n-F(x_n)/F’(x_n) до тех пор, пока выполняется условие: |x_n+1-x_n|  . Метод обеспечивает быструю (квадратичную) сходимость, если (F(x_o)F’’(x_o))>0. В качестве x_o выбирают тот конец отрезка [a,b], на котором знаки F(x_o) и F’’(x_o) совпадают. Выигрыш во времени вычислений за счет быстрой сходимости уменьшается из-за необходимости вычисления, помимо F(x_n), производной F’(x_n). Исключение составляют частные случаи, когда выражение, по которому вычисляется отношение F(x_n)/F’(x_n), не сложнее выражения для вычисления F(x_n) отдельно.

F

 модифицированный метод Ньютона заключается в нахождении приближенного значения функции F^´(x_n) вместо вычисления ее производной на каждом шаге итерации:

, (1 )

где х = .

Следовательно, итерационная формула имеет вид:

(2)

Значение х не обязательно должно быть равно . Равенство х =  позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.

 метод хорд. При этом методе каждое значение x_n+1 находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки F(a) и F(b), причем одна из этих точек фиксируется – та, для которой знаки F(x) и F^’’(x) одинаковы.

Если неподвижен конец хорды x=a, то:

, (3)

а если неподвижен конец хорды x=b, то:

(4)

Если |x_n+1 - x_n|>, то в первом случае считаем b=x_n+1 , во втором a=x_n+1 и повторяем вычисления. При использовании метода хорд полагается, что корень находится внутри отрезка [a, b].

Существуют и другие методы, описание которых можно найти в специальной литературе [5,12.23,27,28]. Решение систем нелинейных уравнений может выполняться описанными методами, применяемыми поочередно к каждому уравнению системы с контролем погрешности схождения каждой переменной к корню с заданной погрешностью.

 метод простых итераций заключается в реализации итерационного процесса по следующей формуле x_i(n+1) = f_i(x_i(n)), применяемой после преобразования системы нелинейных уравнений общего вида F_i(X_i)=0 к виду X_i=f_i(x_i), здесь i – номер переменной (1,2…N), n – номер итерации. Вычисления ведутся до тех пор, пока соблюдается условие |x_n+1 - x_n|>, где  - заданная точность.

 метод Ньютона является наиболее распространенным методом решения системы F_i(X_i)=0. Он реализуется следующим механизмом:

1. задаются абсолютная или относительная погрешность =Е, число уравнений N, максимальное число итераций M и вектор начальных приближений X_i0 с компонентами (x₁₀, x₂₀, …, x_n0);

2. используя разложение F_i(X_i) в ряд Тейлора, формируется матрица Якоби [F_i/X_i], необходимая для расчета приращений F_i(X_i) при малом изменении переменных. Матрица Якоби в развернутом виде записывается следующим образом:

(5)

Поскольку аналитическое дифференцирование F_i(X_i) в общем случае нежелательно, заменяем частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями:

, (6)

где H_i – малое приращение Xi, например H_i = |X_i|;

3. составляется и решается система линейных уравнений для малых приращений x_i:

x =

(7)

Решение этой системы дает значения X₁, X₂, …,X_n, т.е. X_i;

4. вычисляются уточненные значения:

x_1(n+1) = x_1(n) + x₁,

x_2(n+1) = x_2(n) + x₂, (8)

………………….

X_i(n+1) = X_i(n) + X_i:

X_N(n+1) = x_N(n) + x_N,

5. для всех X_i проверяется одно из условий: |X_i|>, |X_i/x_i|>. Если оно выполняется, то выполняется новая итерация. Т.е. считаем вектор X_i(n+1) найденным решением.