Гармонический синтез.

Гармоническим синтезом называется получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник). Гармонический синтез может иметь как самостоятельное значение, так и использоваться как средство тригонометрической интерполяции функций. Гармонический синтез при помощи ряда Фурье заключается в вычислении ограниченного m–гармониками ряда Фурье:

, (30)

где t – время, f₁ – частота (или частота повторений) первой гармоники,

A_k, B_k – коэффициенты ряда Фурье.

В нахождении коэффициентов ряда Фурье заключается спектральный анализ периодической функции. Спектр временной функции y(t) – это совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Кроме вышеприведенной формулы есть и другая:

, (31)

где - амплитуда гармоник,

- фаза гармоник.

Коэффициенты Фурье определяются выражениями:

(32)

, (33)

где - период повторения периодической функции.

Спектральный анализ непериодических или финитных функций - функций, полностью определенных на отрезке [0,t₀], заключается в вычислении составляющих комплексной спектральной плотности:

, (34)

где - угловая частота, (35)

- (36)

- модуль спектральной плотности,

- (37)

- фаза на частоте w,

При этом:

(38)

Таким образом, численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов a_k, b_k периодической функции и коэффициентов S_c, S_s непериодической функции:

, (39)

, (40)

где t=T/N – шаг расположения абсциссы y(t) и:

, (41)

(42)

Обобщенный численный спектральный анализ базируется на том, что периодические функции y(t) являются частными случаями финитных, полагая t₀=T (т.е. условно приписывая финитным колебаниям период T) и считая f=kf₁ (в случае финитных функций k – любые, а в случае периодических – целые числа).

Движение заряженных частиц.

Для начала рассмотрим пару электрических зарядов q₁ и q₂. Между двумя зарядами в зависимости от знаков действует сила притяжения – в случае разноименных зарядов – или сила отталкивания – в случае зарядов одного знака:

(1)

выражение (1) представляет закон Кулона, где r - расстояние между зарядами,

k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе «СИ» k представляет собой выражение:

, (2)

где ₀ – электрическая постоянная - фундаментальная физическая величина, равная 8.8510^-12 Кл²/(Нм²) или же 8.8510^-12 Ф/м. Тогда в системе «СИ» k=910⁹ Нм²/Кл².

Кулоновская сила взаимодействия всегда направлена по прямой линии, соединяющей заряды. Величина силы имеет отрицательное значение, если заряды разноименные, что соответствует взаимному притяжению, и положительное значение в случае одноименных зарядов, что соответствует отталкиванию. Величина заряда измеряется в Кл – кулон. От каждого электрического заряда распространяется электрическое поле, пронизывающее все окружающее пространство. Действительно, между зарядами независимо от расстояния между ними возникает кулоновские силы, а раз есть силы, то есть и поле сил (по определению силового поля). Поле, создаваемое неподвижным зарядом, является электростатическим, т.е. постоянным во времени. При внесении в электрическое поле, создаваемое первым зарядом q₁, другого очень малого заряда q₂ отношение кулоновской силы взаимодействия между ними к величине вносимого заряда не зависит от его величины и характеризует только электростатическое поле неподвижного заряда в каждой конкретной точке пространства.

Отношение не зависит от величины заряда q и является силовой характеристикой электростатического поля, называемой напряженностью поля Е. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

(3)

Направление вектора Е совпадает с направлением вектора силы, действующей на заряд. Размерность напряженности – [Н/Кл] означает, что электростатическое поле действует на точечный заряд в 1 Кл с силой в 1 Н.

Для наглядного представления векторного поля используют силовые линии электрического поля. Эти линии гладкие и непрерывные за исключением точек самих точечных зарядов. Полное число силовых линий, исходящих из точечного заряда, пропорционально величине этого заряда. Силовые линии всегда выходят из положительного заряда (на рисунке – серого цвета) и заканчиваются на отрицательном заряде (белый шарик на рисунке). Каждая силовая линия электрического поля представляет собой направленную линию, касательная к которой в каждой точке параллельна электрическому полю в этой точке.

Если вектор напряженности в любой точке пространства постоянен по своей величине и направлению, то поле в этом случае однородно.

Для электростатических полей выполняется принцип суперпозиции, который заключается в том, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(4)

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электрические поля любой системы неподвижных зарядов.

Для упрощения вычисления напряженности электрического поля удобнее пользоваться теоремой Гаусса, определяющей поток вектора напряженности электрического поля (Ф_Е) сквозь произвольную замкнутую поверхность. Поток вектора напряженности через площадку dS - есть число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол  с вектором Е:

dФ_Е = E_EdS = EcosdS (5)

Ф_Е = (6)

Последнее выражение справедливо для замкнутой поверхности любой формы.

При перемещении в электрическом поле точечного заряда q₂ сила, приложенная к нему, совершает работу (опять же по определению работы ). Выведем уравнение для расчета работы электрических сил. По определению элементарная работа – есть произведение силы на элементарное перемещение, совершенное под действием этой силы:

(7)

где  - угол между направлением действия силы и перемещением.

Распишем силу F и получим следующее выражение:

(8)

так как выражение ( ) - и есть вектор перемещения. Тогда сама работа является интегралом от элементарной работы:

(9)

Если работа по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения, а только от начального и конечного положения заряда в пространстве (а так оно и есть в нашем случае), то поле является потенциальным. Таким образом, электрическое поле потенциально. Тогда работа по перемещению заряда, совершаемая по замкнутому контуру, равна нулю, так как совпадают начальное и конечное положение заряда в пространстве. Работу можно представить как разность выражений:

А = П₁ – П₂ = (10)

где П – потенциальная энергия электрического поля, и выражение представляет собой потенциальную энергию электрического поля:

П = (11)

где С – постоянная интегрирования. При бесконечном удалении потенциальная энергия стремится к нулю и, следовательно, константа С тоже стремится к нулю. Для одноименных зарядов потенциальная энергия больше нуля, для разноименных зарядов она меньше нуля. В случае системы точечных зарядов для потенциальной энергии выполняется принцип суперпозиции полей:

П = П_i = (12)

Из формулы (12) видно, что отношение (П/q₂) не зависит от q₂ – заряда, вносимого в поле первого заряда q₁ – и является энергетической характеристикой электростатического поля. Величина П/q обозначается через  и называется электрическим потенциалом. Единица измерения потенциала []: [Дж/Кл = В (вольт)], следовательно:

(13)

Таким образом, работа электрического поля по перемещению единичного заряда есть разность электрических потенциалов:

А = П₁ – П₂ = q(₁ - ₂) (14)

Опять же, при расчете электрического потенциала системы зарядов сохраняется принцип суперпозиции полей:

(15)

Исходя из рассмотренных характеристик, подставив уравнение (14) в выражение (7), получим:

dA = Fdlcos = Eq₂dr = q₂(₁ - ₂), или

(₁ - ₂) = = -(₂ - ₁) (16)

Потенциал является скалярной величиной, и физический смысл имеет лишь разность потенциалов в двух точках. Перепишем выражение (16) следующим образом: , оператор градиента () в декартовых координатах определяется формулой, известной из курса математики:

, (17)

где - единичные векторы, направленные вдоль осей x, y, z.

В одномерном случае E = -dV/dx, в случае не зависимости V только от модуля r:

E = -dV/dr. (18)

При r  ∞ (₁ - ₂)  ₁ (так как ₂  0) и , откуда:

, (19)

т.е. суть понятия электрического потенциала - есть величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда в бесконечность.

Таким образом, поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной.

В разделе электростатики рассматриваются следующие задачи, которые не имеют аналогов в разделе гравитации:

1. движение «малого» электрического заряда в поле «большого» заряда при их взаимодействии;

2. движение заряженного тела в поле, заданном несколькими фиксированными зарядами произвольных знаков; самый простой случай, когда все заряды лежат в одной плоскости, начальное положение и скорость движущегося заряда находятся в этой же плоскости;

3. движение заряженного тела между пластинами конденсатора, в простейшем случае – движение в одной плоскости.

Более подробное рассмотрение моделирования поставленных задач предложено в методическом пособии по практическим занятиям.