3. Тема № 3: Выявление тренда в динамических рядах

Аналитическое выравнивание рядов динамики предполагает нахождение плавной линии развития (тренд) данного явления, харак­теризующую основную тенденцию его развития. Если фактические уровни ряда динамики (т.е. такого ряда, который характеризует изменение явления или процесса во времени) нанести на гра­фик, то подучится ломаная линия, отражающая основную тенденцию развития, и всякого рода отклонения от нее, вызванное различными факторами.

Чтобы выявить основную тенденцию развития, нужно выровнять эту ломаную линию. Выравнивание может быть проведено по прямой или какой-либо другой линии (показательной, степенной функции и т.п.), выражающей функциональную зависимость уровней ряда от времени.

Один из простейших способов выявления тенденций в развитии явления – это способ ступенчатой средней.

Первоначально производят укрупнение интервалов, т.е. сложение уровней ряда. В результате получается динамический ряд с более крупными интервалами и более ясной тенденцией. По каждому укрупненному интервалу рассчитывают среднюю хронологическую.

Рассмотренный прием позволяет выявить тенденцию, показать ее более ярко, тем не менее у этого способа есть один недостаток: из поля зрения выпадает процесс изменения внутри укрупненных интервалов.

Этим недостатком не страдает другой способ выявления общей тенденции – способ скользящей средней. Сглаживание с помощью скользящей средней заключается в последовательном расчете среднего уровня, сначала из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем из того же числа уровней ряда, но начиная уже со второго по счету уровня ряда, далее из того же числа уровней ряда, но начиная с третьего уровня ряда и т.д. Таким образом, при образовании групп уровней ряда, из которых рассчитывается скользящая средняя, в каждой последующей группе отбрасывается начальный уровень предшествующей группы и добавляется следующий по порядку уровень ряда.

Интервалы	Средние уровни
Первый	(у1 + у2 + …+ уn) × n
Второй	(у2 + у3 + …+ уn-1) × n
Третий	(у3 + у4 + …+ уn-2) × n

Более сложный метод выявления основной тенденции развития – метод аналитического выравнивания. В этом случае уровни ряда замещаются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, которая выражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики изменяющийся уровень показателя оценивается как функция времени.

где: У_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени.

В данной контрольной работе необходимо провести выравнивание по прямой.

Уравнение прямой имеет вид:

(3.1)

Для вычисления параметров уравнения используют метод наименьших квадратов. Для этого решается система нормальных уравнений:

(3.2)

Для решения данной системы уравнений применяют способ определителей:

(3.4)

В уравнении прямой

b₀ – это величина уровня, принятого за начальный;

b₁ – это средний абсолютный прирост уровней.

В задачах на изучение сезонных колебаний показатели средних уровней исчисляются для определения в рядах динамики общей тенденции развития (тренда). Это важно для обоснования методов измерения сезонных колебаний.

В стабильных рядах динамики, в которых нет ярко выраженной общей тенденции роста, сезонные колебания измеряются на основе постоянного среднего уровня. Для определения по одноименным внутригодовым периодам обобщающих показателей сезонных колебаний исчисляются средние индексы сезонности по формуле:

(3.5)

где: – усредненный уровень одноименных внутригодовых периодов (за ряд лет);

– общий (постоянный) средний уровень.

В рядах динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития (роста) сезонные колебания изучаются на основе переменного уровня, выражающего тренд (y_t).

Тренд в рядах внутригодовой динамики обычно определяется способом аналитического выравнивания.

При применении этого способа расчет индексов сезонности производится по формуле:

(3.6)

где: y_i – исходный (эмпирический) уровень изучаемого внутригодового периода;

– выровненный (теоретический) уровень изучаемого периода;

n – число годовых периодов.

Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уров­ни ряда динамики за год или за несколько лет. Способы определения индексов сезон­ности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тен­денция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Индекс сезонности рассчитывается по формуле (3.5). Рассмотрим пример в таблице № 3.1