Точечные оценки

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности — оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть ₀, а на основе выборки объема n определяется оценка .

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

Несмещенность оценок. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .

Если это не так, то оценка называется смещенной, а разность называется смещением.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней , так как . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка .

Выборочная дисперсия D_X является смещенной оценкой генеральной дисперсии , при этом

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия)

Величина S называется стандартным отклонением случайной величины в выборке.

Эффективность оценок. Несмещенная оценка  называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. .

Предположим, что имеются две оценки параметра ₀, рассчитанные на основе одной и той же информации (рис. 2). Оценка А является более эффективной, чем оценка В.

Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

Состоятельность оценок. Оценка  называется состоятельной, если при n   она стремится по вероятности к оцениваемому параметру ₀, т.е.

.

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

На рисунке показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).

Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что

,

то есть выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней .

Проверка статистических гипотез

Очень часто генеральная совокупность должна подчиняться некоторым параметрам. Например, фасовочная машина должна наполнять пакеты сахаром по 1 кг. Как узнать, действительно ли генеральная совокупность подчиняется этим ограничениям? С этой целью проводят испытание гипотез.

Статистической гипотезой H называется предположение относительно параметров или вида распределения случайной величины.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀, а конкурирующей (альтернативной) — гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Основная гипотеза H₀  это утверждение, которое подлежит проверке.

Например, гипотеза H₀: генеральная средняя . Альтернативная гипотеза H₁ в этом примере может быть сформулирована любым из следующих способов:

1. H₁: (правосторонняя проверка);

2. H₁: (левосторонняя проверка);

3. H₁: (двусторонняя проверка).

Проверку статистической гипотезы выполняют на основе результатов выборки. Поскольку выборка имеет ограниченный объем, то появляется возможность принятия ошибочного решения.

Вероятность  того, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза, называется уровнем значимости.

Выбор, например, 5%-го уровня значимости означает, что в пяти случаях из ста верная гипотеза будет отвергнута. Стремление к уменьшению  ведет в то же время к уменьшению вероятности отвергнуть гипотезу, когда она является ложной.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. В качестве статистического критерия выбирается такая случайная величина, например t, точное или приближенное распределение которой известно.

Наблюдаемым значением t (статистикой) называется значение критерия, вычисленное по данным выборки. Формула для вычисления статистики зависит от вида решаемой задачи.

Множество значений критерия t разбивают на две непересекающиеся области: критическую и область принятия гипотезы.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза H₀ отвергается. Различают одностороннюю и многостороннюю критические области.

Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза H₀ принимается.

Критическими точками t_кр называются точки, отделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Критические точки t_кр определяются по таблицам известного распределения выбранного критерия t при заданном уровне значимости и числе степеней свободы.

Сравнивая наблюдаемое значение критерия с критическими точками, можно принять или отвергнуть нулевую гипотезу.

Значения статистики и граничных точек наносят на координатную ось. В зависимости от их взаимного расположения возможен один из трех вариантов:

1. принимается H₀;

2. принимается H₀ и без всякой проверки принимается H₁;

3. доказательство является неубедительным, нужно больше данных.

Д ля левосторонней проверки:

Д ля правосторонней проверки:

Д ля двусторонней проверки: