Испытание гипотез на основе выборочной средней

Рассмотрим случай, когда известна генеральная дисперсия , объем выборки равен n, выборочная средняя равна . Тогда граничные точки: (для правосторонней проверки),  (для левосторонней проверки), (для двусторонней проверки). Значение определяется с помощью функции НОРМСТОБР(1 ) пакета Exel. Статистика вычисляется по формуле .

Пример 4.

Автомат, работающий со стандартным отклонением г. фасует чай в пачки со средним весом г. Проведена случайная выборка объемом пачек. Средний вес пачки чая в выборке г. Надо ли отрегулировать автомат? Доверительная вероятность .

Выдвигаем гипотезы:

H₀ : для нормальной совокупности генеральная средняя г;

H₁ : г.

Проведем двустороннюю проверку.

; вычисляем с помощью функции НОРМСТОБР(10,025), получаем . Следовательно, граничные точки .

Вычисляем статистику .

О тметим значения на числовой оси

Отклоняем гипотезу H₀ и принимаем гипотезу H₁ на уровне значимости 5%. Автомат нужно отрегулировать.

Рассмотрим случай, когда неизвестна генеральная дисперсия . Пусть объем выборки равен n, выборочная средняя равна и выборочное стандартное отклонение равно s. Пусть a  предполагаемое значение генеральной средней. Тогда граничные точки: (для правосторонней проверки),  (для левосторонней проверки), (для двусторонней проверки). Значение определяется с помощью функции пакета Exel: СТЬЮДРАСПОБР(2(1  p); n  1) для правосторонней и левосторонней проверки и СТЬЮДРАСПОБР(1  p; n  1) для двусторонней проверки. Статистика вычисляется по формуле .

Пример 5.

Производитель утверждает, что средний вес пачки чая не меньше г. Инспектор отобрал 10 пачек и взвесил. Их вес оказался равным 97, 102, 103, 98, 96, 105, 98, 100, 101, 99 г соответственно. Не противоречит ли это утверждению производителя? Предполагается, что вес пачек распределен нормально. Доверительная вероятность .

Выдвигаем гипотезы:

H₀ : для нормальной совокупности генеральная средняя г;

H₁ : г.

Проведем левостороннюю проверку.

; вычисляем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(2(0,01); 9), получаем . Следовательно, граничная точка равна  2,821.

Вычислим и s. Для этого нам понадобится таблица:

Номер пачки	Вес, г xi
1	97	 2,9	8,41
2	102	2,1	4,41
3	103	3,1	9,61
4	98	 1,9	3,61
5	96	 3,9	15,21
6	105	5,1	26,01
7	98	 1,9	3,61
8	100	0,1	0,01
9	101	1,1	1,21
10	99	 0,9	0,81
Итого	999		72,9

Вычисляем по формуле г.

Вычисляем по формуле , откуда г.

Вычисляем статистику .

О тметим значения на числовой оси

Отклонение H₀, принятие H₁

1%

Принятие H₀

99%

 2,821

 0,111

Принимаем гипотезу H₀ на уровне значимости 1%. Выборка инспектора не противоречит утверждению производителя.