5.2. Операції над нечіткими множинами

Визначення нечітких теоретико - множинних операцій можуть бути узагальнені зі звичайної теорії множин.

Означення 5.2.1. Дві нечіткі множини і , що задані на U, є рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів для всіх x  U та _A(x)= _B (x). Позначають як = .

Означення 5.2.2. Дві нечіткі множини і доповнюють одна одну, якщо _A(x)= 1 - _B(x) для всіх x  U.

Означення 5.2.3. Перетином двох нечітких множин і є така множина = , що складається з елементів для всіх x  U, що одночасно належать і із функцією належності _D(x)= min(_A(x), _B (x)).

Означення 5.2.4. Об’єднанням двох нечітких множин і є така множина = , що складається із елементів для всіх x  U, що належать або з функцією належності _D(x)= max(_A(x), _B (x)).

Означення 5.2.5. Різницею двох нечітких множин і є така множина = - , що складається з елементів для всіх x  U, що мають функцію належності

_D(x)= _A(x) - _B (x), якщо _A(x)> _B (x)), інакше _D(x)= 0.

На рис. 5.3 зображені графічно основні операції над нечіткими множинами: а)  ; б) = 1 - ;

в)  г)  .

Означення 5.2.6. Декартовим добутком  двох нечітких множин і , визначених відповідно на універсамах U₁ та U₂ , є нечітка множина пар (кортежів), визначених U₁ та U₂ з функцією належності _D(x)=

= min(_A(x), _B (x)).

Тобто =  ={(min(_A(x), _B (x)), (a,b) ): a U₁ ,b U₂ }.

Приклад 5.2.1. Для заданих нечітких множин

,

знайти  та  .

Розв’язання. За означеннями 5.2.4 ‒ 5.2.5 знаходимо

 =

 = .

Рисунок 5.3 – Операції над нечіткими множинами

Аналогічно операціям на чітких множинах вводиться поняття нечіткого відношення.

Означення 5.2.7. Нечітким відношенням між множинами і називається підмножина їх декартового добутку, тобто   .

5.3. Поняття нечіткої і лінгвістичної змінної

При описі об'єктів та явищ за допомогою нечітких множин використовують поняття нечітких і лінгвістичних змінних.

Означення 5.3.1. Нечіткою змінною називають змінну, що характеризується трійкою á x, U, ñ, де x ‒ ім'я змінної; U ‒ універсальна множина (область визначення x); ‒ нечітка множина на U, що описує функцію належності змінної.

Означення 5.3.2. Лінгвістичною змінною називають змінну, яку можна описати набором даних á x, T , U , G, M ñ, де x ‒ ім'я лінгвістичної змінної, Т ‒ терм-множина (сукупність значень змінної), кожний елемент якої (терм) є нечіткою множиною, U – універсальна множина, G ‒ синтаксична процедура (правило), що породжує терми множини Т на U, М ‒ семантична процедура (правило), яка кожному терму задає функцію належності.

Приклад 5.3.1. Розглянемо лінгвістичну змінну з ім'ям “температура в кімнаті”. Тоді набір даних, що її характеризує, можна визначити так:

1. Універсальну множину візьмемо

U = {xN: 5 ≤ x ≤ 35}.

2. Терм-множину виберемо

Т = {“прохолодно”, “комфортно”, “жарко”}, в якій терми є нечіткими множинами з функціями належності:

,

,

.

3. Синтаксичні правила G, що породжують нові терми, задамо за допомогою словосполучень (квантифікаторів) ‒ “не”, “дуже”, “більш-менш”.

4. Семантичні правила М представлені в табл. 5.1.

Таблиця 5.1 М Правила розрахунку функцій належності

Квантифікатор	Функція належності
Не t	1 - μt(u)
Дуже t	(μt(u))2
Більш-менш t

Графіки функцій належності термів “прохолодно”, “не дуже прохолодно”, “комфортно”,“більш-менш комфортно”,“жарко” та “дуже жарко” лінгвістичної змінної “температура в кімнаті” подані на рис. 5.4.

Рисунок 5.4 – Графіки належності термів лінгвістичної змінної