5.4.1. Основні логічні операції з нечіткими

висловлюваннями

Очевидно, що прийнятий у математичній логіці спосіб визначати логічні операції за допомогою таблиць істинності не може бути використаний у нечіткій логіці. Причина цього полягає в континуальній потужності множини значень істинності [0, 1]. Саме тому центральної ролі у визначенні логічних операцій у нечіткій логіці набуває відображення істинності Т, яке має допоміжне значення в класичній математичній логіці.

Нехай ‒ деяка множина елементарних нечітких висловлювань, а Т: → [0, 1] ‒ відображення істинності висловлювань.

Означення 5.4.3. Запереченням нечіткого висловлювання (записується як  і читається “ не ”, "неправильно, що ») називається унарна логічна операція, наслідком якої є нечітке висловлювання, значення істинності якого за визначенням набуває значення

T ( ) = l - T ( ). (5.3)

Приклад 5.4.3. Застосуємо операцію заперечення до нечіткого висловлювання - “О. Бендер має досить високий зріст” ( див. приклад 5.4.2). Висловлювання  -“Неправильно, що О. Бендер має досить високий зріст” матиме значення істинності

T ( ) = l - T ( ) = 1 - 0,7 = 0,3.

Означення 5.4.4. Кон'юнкцією нечітких висловлювань та (записується як:  і читається – “ і ”) називається бінарна логічна операція, наслідком якої є нечітке висловлювання, істинність якого визначається за

формулою

T(  ) = min{T( ), T( )}. (5.4)

Означення 5.4.5. Диз’юнкцією нечітких висловлювань та (записується як:  і читається – “ або ”) називається бінарна логічна операція, наслідком якої є нечітке висловлювання, істинність якого визначається за

формулою

T(  ) = mах{T( ), T( )}. (5.5)

Означення 5.4.6. Нечіткою імплікацією, або просто ‒ імплікацією, нечітких висловлювань і (записується як  і читається – “з випливає ”, “якщо , то ”) називається бінарна логічна операція, наслідком якої є нечітке висловлювання, істинність якого може набувати значення, що визначається за однією з таких формул.

Нечітка імплікація Заде: T(  ) =

= max{min{T( ), T( )}, 1 - T( )}. (5.6)

Цю форму називають також класичною нечіткою імплікацією.

Нечітка імплікація Гьоделя

T(  ) = max{T( ), T( )}. (5.7)

Нечітка імплікація Мамдані

T(  ) = min{T( ), T( )}. (5.8)

Нечітка імплікація Лукасевича

T(  ) = min{1, 1 - T( ) + T( )}. (5.9)

Нечітка імплікація Гогена

T(  ) = min{1, T( )/T( ) }, де T( ) > 0. (5.10)

Існують й інші способи обчислення нечіткої імплікації.

Нечітка імплікація відіграє важливу роль у процесі нечітких логічних умовиводів. Так само, як і в математичній логіці перший її операнд (нечітке висловлювання) називається засновком, а другий – висновком. Хоча класична нечітка імплікація знаходить найбільше застосування при розв'язанні прикладних задач і вона залишається справедливою у випадку звичайних висловлювань класичної логіки, інші способи обчислення нечіткої імплікації в окремих ситуаціях виявляються більш ефективними.

Приклад 5.4.4. Розглянемо складене нечітке висловлення у формі нечіткої імплікації: "Якщо О. Бендер має досить високий зріст, то завтра буде хмарно з проясненнями", при цьому істинність елементарних нечітких висловлювань, що входять до нього, дорівнює T( ) = 0,7 і T( )= = 0,2. Знайти значення істинності імплікації.

Розв’язання. Істинність цієї нечіткої імплікації, обчислена за формулою (5.6), дорівнює Т(  ) = 0,3, за формулою (5.8) – Т(  ) = 0,2, за формулою (5.9) – Т(  ) = 0,5, за формулою (5.10) – Т(  ) = 0,29.