7.1. Невласні інтеграли і-го роду: інтеграли з нескінченними межами інтегрування.

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a; + ) і інтегровна в будь-якій кінцевій його частині [a; A] так що інтеграл має зміст при будь-якому А > a.

Означення. Границя інтеграла (скінченна або нескінченна) при А  +  називається невласним інтегралом І-го роду від функції f(x) і позначається:

(7.1)

Геометрична ілюстрація.

Нехай задана невід’ємна функція у = f(x), неперервна на півінтервалі [a; + ). Для кожного b > a визначений інтеграл дає площу криволінійної трапеції аАВb.

Зміщуючи відрізок Вb управо, ми отримаємо замість значення невласного інтеграла площу «трикутника» Аа. (рис. 7.1)

Рис. 7.1

Д ослідити збіжність інтеграла залежно від параметра .

Розв'язування. Якщо границя існує і скінченна, то невласний інтеграл збіжний. В протилежному випадку – розбіжний.

Аналогічно, з означенням (7.1) можна розглядати невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею:

(7.2)

Можна також розглядати невласний інтеграл на проміжку (– ; ):

(7.3)

Можна показати, що права частина (7.3) не залежить від вибору проміжної точки с.

Розв'язування. За означенням (7.1)

Д ослідити збіжність інтеграла

Розв'язування. За означенням (7.1):

.

Границя не існує, тому початковий інтеграл розбіжний.

Якщо функція f(x) додатна, то інтеграл

(7.4)

являє собою монотонно зростаючу функцію від змінної А. Питання про існування скінченної границі при А   розв’язується за допомогою наступних теорем, які ми наводимо без доведення.

Теорема. Для збіжності невласного інтеграла (7.1) необхідно і достатньо, щоб інтеграл (7.4) при зростанні А залишався обмеженим зверху:

Теорема. Якщо хоча б при х  А має місце нерівність ,то із збіжності інтеграла слідує збіжність інтеграла , або, із розбіжності слідує розбіжність інтеграла .

7.2. Невласні інтеграли іі роду: інтеграли від необмежених функцій.

Нехай функція у = f(x) визначена на проміжку (a; b].

Означення. Точка х = b називається особливою точкою якщо функція f(x) не обмежена в будь-якому відрізку, що належать проміжку (a; b].

Теорема. Якщо існує границя

то із збіжності інтеграла , при K < +, випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності першого інтеграла випливає розбіжність другого.

Теорема. Нехай для достатньо великих х (Коші) функція f(x) має вигляд:

Тоді, якщо > 1 і(х)  с > 0, то цей інтеграл розбігається.

Теорема. Якщо збігається інтеграл то збігається і інтеграл .

Означення. Якщо одночасно з інтегралом збігається і інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним, а функція f(x) – абсолютно інтегровною на проміжку [a; b).

Теорема. Нехай функції f(x) і g(x) визначені на проміжку [a; ), причому:

1)функція f(x) інтегровна на цьому проміжку, так що інтеграл (8.1) збігається;

2)функція g(x) монотонна і обмежена:

Тоді інтеграл

(7.5)

збігається.

Теорема (ознака Діріхле).Нехай

1. функція f(x) інтегровна на будь-якому проміжку [а; А] і інтеграл (7.4) обмежений:

2. функція g(x) монотонно прямує до 0 при х  :

.

Тоді інтеграл (7.5) збігається.

Дослідити збіжність інтегралів:

1. .

2. .

3.

Розв'язування.1. За ознакою Діріхле покладемо:

Умови (7.1) і (7.2) виконані, бо і функція монотонно спадає, прямує до 0 при х  .

Тому інтеграл збіжний.

2. За ознакою Абеля покладемо:

,

За умовою (7.1) інтеграл збігається, за умовою (7.2)

Отже, інтеграл збігається.

3. За ознакою Абеля покладемо:

, .

Інтеграл – збіжний, , тому інтеграл збіжний.

Означення. Границя інтеграла при   0 називається невласним інтегралом ІІ роду функції f(x) від а до bі позначається:

.

(7.6)

Якщо границя існує, то кажуть, що невласний інтеграл (9.6) збігається. Якщо границя не існує або нескінченна, то інтеграл (9.6) розбіжний.