6.7. Основна формула інтегрального числення.
Відомо, що для неперервної на проміжку [a; b] функції f(x) інтеграл
є первісною. Якщо F(x) – будь-яка первісна для f(x) функція, то
.
Сталу С можна визначити, якщо покласти х = а або Ф(а) = 0. Будемомати
0 = Ф(а) = F(x) + С, звідсиС = – F(x)
Остаточно,
Ф(х) = F(x) – F(а).
Зокрема при х = b, отримаємо
або
|
(6.22) |
де
.
Це – формула Ньютона-Лейбніца – основна формула інтегрального числення.
За допомогою формули (6.22) встановлюється зв’язок між теоремами про середнє в диференціальному і інтегральному численні.
1
.
.
2.
.
6.8. Формули зведення. Формула інтегрування частинами.
Основна формула інтегрального числення може в деяких випадках зразу давати значення визначеного інтегралу. З іншого боку, за її допомогою різні формули зведення в теорії невизначених інтегралів перетворюються в аналогічні формули вже в визначених інтегралах, що дозволяє обчислення одного інтеграла зводити до обчислення другого більш простого інтеграла.
Загальна форма формул зведення має вигляд:
|
(6.23) |
Якщо областю застосування подібної формули є проміжок [a; b], то її у визначених інтегралах відповідає формула
|
(6.24) |
Дійсно, позначимо інтеграл g(x)dxчерез Ф(х):
g(x)dx = Ф(х).
Тоді за основною формулою матимемо:
Але
,
тому приходимо до формули (8.24).
Зокрема, формула інтегрування частинами приймає вигляд:
|
(6.25) |
а узагальнена формула переходить в таку:
|
(6.26) |
Формула (6.24) встановлює відношення між числами і вона простіша формули (6.23), яка встановлює відповідності між функціями.
О
бчислити
інтеграл
.
За формулою (6.26) матимемо:
Звідси матимемо рекурентну формулу
або
|
(6.27) |
За допомогою формули (6.27) інтеграл In послідовно зводиться до інтегралу І0 або І1.
Якщо n– парна степінь (n = 2k), то матимемо:
Якщо n– непарна степінь (n = 2k + 1), то матимемо:
.
Отже
|
(6.28) |
6.9. Формула змінної у визначеному інтегралі.
Основна формула інтегрального числення дозволяє встановити правило заміни змінної у визначеному інтегралі.
Нехай треба обчислити інтеграл , де f(x) – неперервна на проміжку [a; b] функція.
Покладемо х = (t) і вважаємо, що функція (t) задовольняє умовам:
1. (t) визначена і неперервна в деякому проміжку [; ];
2. (t) [а; b] коли t [; ];
3. () = а, () = b;
4. існує неперервна похідна (t), t [; ].
Тоді має місце формула
|
(6.29) |
Дійсно, ми признаємо, що підінтегральні функції неперервні, тому існують не тільки ці визначені інтеграли, але й відповідні їм невизначені, і в обох випадках можна застосувати основну формулу.
Якщо F(x) – первісна для функції f(x), то F((t)) первісна для функції f((t))(t).
Зауваження. Важлива особливість формули (6.29): при обчисленні невизначеного інтеграла за допомогою заміни змінної отримуючи шукану функцію, що виражена через t, ми обов’язково повертаємося до старої змінної t, але у випадку визначеного інтегралу, в цьому немає потреби. Якщо обчислений другий із визначених інтегралів, який є числом, то це означає що обчислений і перший.
Знайдемо інтеграл
.
.