6.10. Обчислення визначених інтегралів за допомогою властивостей підінтегральних функцій.

Істотні спрощення обчислень можливі при знаходженні інтегралів від парних, непарних, періодичних функцій:

1. Якщо f(x) – парна функція, то .

2. Якщо f(x) – непарна функція, то .

3. Якщо f(x) – періодична з періодом Т функція .

З найти .



З найти



З найти



.

З найти .



.

6.11. Геометричне застосування визначеного інтеграла.

6.11.1. Обчислення площі в прямокутних координатах.

1. Якщо на відрізку [a; b] функція f(x)  0 то, площа криволінійної трапеції, обмеженою кривою 0, то площа криволінійної трапеції, обмеженою кривою у = f(x), віссю ОХ і прямими х = а і х = b, дорівнює:

(6.30)

Рис. 6.7

2. Якщо треба обчислити площу фігури, що обмежена кривими у = f₁(x), у = f₂(x), f₁(x)  f₂(x) ординати х = а і х = b, то матимемо

(6.31)

Рис. 6.8

О бчислити площу фігури, обмеженої кривими і .

 Знаходимо точки перетину кривих

отже .

Рис.6.9

Отже, за формулою (6.31):

.

3. Якщо крива задана рівняннями в параметричній формі

і , ,

(6.32)

то площа криволінійної фігури обчислюється за формулою

(6.33)

Дійсно, нехай рівняння (6.32) визначають деяку у = f(x) на відрізку [a; b] і отже, площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою:

або

.

Рис. 6.10

Обчислити площу фігури, що обмежена віссю ОХ і однієї аркою циклоїди х = 5(t – sint), y = 5(1 – сost).

• За формулою (6.33)

75.

6.11.2. Довжина дуги кривої.

І. Довжина дуги кривої в прямокутних координатах. Нехай в прямокутних координатах на площині задана крива рівнянням у = f(x), де f(x) і f(x) – неперервні на відрізку [a; b] функції.

Знайдемо довжину дуги АВ цієї кривої, що заключена між вертикальними прямими х = a i x = b (рис. 6.11).

Рис. 6.11

Нагадаємо означення дуги кривої.

Візьмемо на дузі АВ точки А, А₁, А₂, …, В з абсцисами а = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b і проведемо хорди АА₁, А₁А₂, …, А_n–1B, довжини яких позначимо відповідно l₁, l₂, …l_n. Тоді отримаємо ламану АА₁А₂ … А_n–1B, вписану в другу АВ. Довжина ламаної дорівнює .

Означення. Довжиною l дуги АВ називається границя, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшого ланки прямує до нуля:

(6.34)

Довжина дуги кривої обчислюється за формулою:

(6.35)

Доведемо формулу (6.35). Введемо позначення у_і = f(x_i) – f(x_i–1). Тоді

.

За теоремою Лагранжа матимемо:

Отже,

Таким чином, довжина вписаної ламаної дорівнює

.

За умовою, f(x) – неперервна, тому функція теж неперервна. Отже, існує границя написаної інтегральної суми, який дорівнює визначеному інтегралу:

О бчислити довжину напівкубічної параболи , .

• За формулою (6.35):

ІІ. Довжина дуги кривої у випадку, коли рівняння кривої задано в параметричній формі:

,

(6.36)

де (t), (t) – неперервні функції з неперервними похідними, причому (t)0, t[; ]. У цьому випадку рівняння (6.36) визначають деяку функцію у = f(t) – неперервну і мають неперервну похідну:

.

Нехай а = (), b = (). Тоді зробивши в інтегралі (6.35) підстановку х = (t), dx = (t)dx, отримаємо:

або

(6.37)

О бчислити довжину дуги астроїди х = 5cos³t, y = 5sin³t.

• Крива симетрична відносно обох координатних осей, тому обчислюємо спочатку довжину її четвертої частини, розташованої в першої чверті. Знаходимо

Параметр t буде змінюватися від 0 до .

Отже:

.

Зауваження. Якщо крива задана параметричними рівняннями

, ,

(6.38)

то довжина дуги обчислюється за формулою

(6.39)

ІІІ. Довжина дуги кривої в полярних координатах.

Нехай в полярних координатах задано рівняння кривої

 = f(),

(6.40)

де – полярний радіус, – полярний кут.

Напишемо формули переходу від полярних координат до декартових: х = сos, y = sin. Якщо замість  підставити вираз (6.40) через , то отримаємо рівняння:

х = f()сos, y = f()sin.

Ці рівняння можна розглядати як параметричні рівняння кривої і для обчислення довжини дуги застосувати формулу (6.37). Для цього знайдемо похідні від х і у по параметру :

;

.

Тоді

Отже,

(6.41)

Знайти довжину кардіоїди .

Змінюючи полярний кут  від 0 до  отримаємо половину шуканої довжини.

.

Рис. 6.12

Отже,