Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки , в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд, по степеням разности :

Продифференцируем этот ряд с неопределенными пока коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, получаем тождество, из которого определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда (в числе, равном порядку уравнения) определяются не из тождества, а из начальных условий. Если далее доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уверенным, что он выражает искомое решение.

Особенно удобно с помощью рядов решать линейные дифференциальные уравнения.

Пример 18. Найти решение уравнения при , .

Решение.

Решение будем искать в виде ряда, разложенного по степеням :

Коэффициенты и находим из начальных условий:

, .

Дважды дифференцируем ряд:

Подставляя в дифференциальное уравнение вместо и их разложения, получаем тождество

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:

, ,…, .

Поэтому

, , , , , ,

и вообще

, .

Значит,

С помощью признака Даламбера легко убедиться, что этот ряд сходится на всей оси и, следовательно, представляет искомое решение при всех .

3. Ряд Фурье.

Определение. Коэффициентами Фурье функции называются числа и , определяемые формулами

, . (36)

Ряд

(37)

называется рядом Фурье функции .

В случае разложения в ряд Фурье функции, заданной в интервале , где - произвольное число, формулы (36) и (37) принимают вид:

, . (38)

. (39)

Пример 19. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке .

Решение.

По формулам (38) найдем:

Подставим найденные значения коэффициентов ряда Фурье в формулу (38):

.

_________________________________________

Решение 0-варианта

(часть2)

1. Вычислить неопределенные интегралы:

а)

б)

;

в) . Используем формулу интегрирования по частям: , где , ; , . Т.о.:

;

г) . Перемножаем скобки в знаменателе и делим числитель на знаменатель:

Найдем дискриминант выражения : . Т.о., уравнение не имеет вещественных корней и интеграл запишется в виде:

.

Первый интеграл решается легко. Во втором интеграле (обозначим его ) по формуле (7) проводим разложение подынтегральной функции на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и приравниваем числители в обеих частях равенства:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа:

, , , .

в числи­теле 2 – го интеграла формируем дифференциал знаменателя:

знаме­натель последнего интеграла приводим к полному квадрату: . Т.о., последний интеграл выражается через арктангенс. Окончательно получим:

.