2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
,
т.е. интеграл расходится.
3.Вычислить объем тела, полученного вращением кривых и вокруг оси .
Делаем рисунок (Рис. 7).
Находим
точку пересечения кривых:
;
;
.
Используем формулу (24). Объем искомого
тела получится вычитанием из объема
тела, полученного вращением кривой
,
объема тела, полученного вращением
кривой
:
ед.
куб.
ед. куб.
4. В области , ограниченной заданными линиями, вычислить двойной интеграл двумя способами (т.е. изменяя порядок интегрирования по и ). Сделать рисунок.
;
;
.
Область образована пересечением 2–х окружностей (Рис. 9).
Для
определенности в качестве области
выберем заштрихованную область. Из
равенства абсцисс и ординат окружностей
в точках пересечения находим координаты
точек
и
:
,
т.е.
,
.
Перейдем к двукратному интегралу.
а)
во внешнем интеграле интегрируем по
2
– й интеграл подстановкой
сводится к табличному интегралу. В 1 –
м интеграле делаем подстановку
.
Таким образом:
Суммируя
все слагаемые, получим
;
б)
во внешнем интеграле интегрируем по
.
В этом случае во внутреннем интеграле,
при интегрировании по
,
необходимо отдельно рассмотреть области
и
.
Т.о., получим:
.
В первом интеграле делаем замену переменной:
,
,
Во втором интеграле делаем замену переменной:
Получим:
Результаты вычислений совпали.
5. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать рисунки областей и .
V:
Решение.
Изображаем
области
и
(Рис. 10, 11). В качестве
выступает объем 4-гранной пирамиды.
Областью
на плоскости
является равносторонний треугольник.
Если в 3 – х кратном интеграле в качестве
внешнего интеграла выбрать интеграл
по
,
то в интеграле по
,
как это видно из рис. 11,
.
Пределы интегрирования интеграла по
изменяются на отрезке
.
Т.о., запишем тройной интеграл в виде 3
– х кратного:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Решение.
а) .
Выразим :
-
однородное уравнение.
Воспользуемся
заменой
,
тогда
,
.
.
Упростим:
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
,
,
.
Тогда
;
.
Произведем обратную замену , окончательно получим:
-
общее решение.
Ответ: .
б) .
Выразим :
-
линейное неоднородное уравнение 1-го
порядка.
Воспользуемся заменой , тогда .
.
,
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
,
.
Упростим:
.
Тогда
,
,
,
.
Произведем обратную замену
,
-
общее решение.
Ответ: .
в) .
Выразим :
-
уравнение Бернулли.
Произведем замену , тогда .
.
,
,
,
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
,
.
.
Тогда
,
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
.
,
.
Произведем обратную замену:
,
-
общий интеграл.
Ответ: .
г) .
Положим
,
тогда
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
.
,
.
Произведем обратную замену:
.
Проинтегрировав полученное равенство, будем иметь:
-
общее решение.
Ответ: .