Ряды с произвольными членами

В случае, если члены ряда попеременно имеют то положительный, то отрицательный знак, то ряд называют знакочередующимся. В этом случае справедлива теорема Лейбница: Если в знакочередующимся ряде абсолютные значения членов убывают и n-ый член стремится к нулю при , то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше первого члена ряда.

Для рядов с произвольным распределением знаков их членов справедлив достаточный признак сходимости: Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

В случае, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, говорят об абсолютной сходимости ряда. Если данный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда расходится, то говорят, что данный ряд сходится условно или неабсолютно.

2. Степенные ряды.

Ряды, членами которых являются не числа, а функции независимой переменной называют функциональными рядами.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

,

члены которого суть произведение постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности .

Постоянные называют коэффициентами степенного ряда.

В частности, если , то мы будем иметь степенной ряд:

(33)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (33) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при всяком , лежащем в интервале , т.е. удовлетворяющем условию .

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (33) называется такое число , что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится. Интервал от до называется интервалом сходимости степенного ряда.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно интегрировать и дифференцировать почленно.

Ряд Тейлора

Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд

(34)

относительно разности , коэффициенты которого , ,…, ,… выражаются через функцию и ее производные в точке по формулам

, , ,…, ,…

Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции в точке .

Обозначим через многочлен -ой степени, равный сумме первых членов ряда Тейлора:

Разность

называется остаточным членом ряда Тейлора.

Для того, чтобы ряд Тейлора при значении сходился и имел своей суммой , т.е.

,

необходимо и достаточно, чтобы

,

т.е. остаточный член ряда Тейлора должен стремиться к нулю при .

Заметим, что особенно часто используется разложение функций по степеням . В этом случае, полагая в (34) , получаем ряд

, (35)

который называется рядом Маклорена.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

1. Показательная функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях , т.е. при :

.

2. Тригонометрические функции и разлагаются в ряд Маклорена при всех значениях , т.е. при :

.

.

3. Биномиальный ряд представляет функцию в интервале :

Заметим, что данная формула справедлива в случае, когда m не является натуральным числом (в противном случае ряд обрывается).

4. Логарифмическая функция разлагается в ряд Маклорена в интервале :

5. Арктангенс разлагается в ряд Маклорена в интервале :

.

Пример 17. Разложим в ряд Маклорена функцию .

Решение. Заменим в формуле

на . Получим:

Ответ: