7. Для данного дифференциального уравнения второго порядка найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: , , .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
.
Корни
этого уравнения
.
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
Будем искать частное решение в виде:
Вычислим производные функции до второго порядка:
Подставим полученную производную и функцию в исходное уравнение:
Сгруппируем
в левой части равенства слагаемые,
содержащие
и
:
Тогда
,
.
Отсюда
Из этой системы уравнений находим:
.
Частное решение имеет вид:
.
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
.
Используем начальные условия:
.
.
Решение задачи Коши имеет вид:
Ответ: .
8. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
Решение.
а) .
Сравним данный ряд со сходящимся рядом .
,
следовательно ряды ведут себя одинаково. Данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.
б) .
Воспользуемся признаком Даламбера.
следовательно, согласно признаку Даламбера, данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.
в) .
Сначала
докажем, что сходится ряд
Для этого воспользуемся интегральным
признаком.
.
Интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд
Воспользуемся
предельной теоремой сравнения рядов
и
.
Ряды
являются эквивалентными, значит, из
сходимости ряда
следует сходимость ряда
.
Ответ: данный ряд сходится.
г)
Применим к данному знакочередующемуся ряду радикальный признак Коши.
.
Следовательно, данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
9. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке .
Решение.
По формулам (38) найдем:
Подставим найденные значения коэффициентов ряда Фурье в формулу (38):
.
Ответ: .
Литература.
Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика – М. ВЛАДОС, 2002
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1964 (или любое другое издание).
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.. Наука, 1971 (или любое другое издание).
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Изд. технике теоретической литературы 1951-1956. (или любое другое издание).
Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш. Кремера. – М. ЮНИТИ. 2001.
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. В 2-х тт. - М.: Высшая школа,1973 (или любое другое издание).
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1975-1990.
Математика в понятиях и терминах. Под ред. Л.В.Сабинина. В 2-х тт. -М.: Просвещение, 1978, 1982.
Матросов В.Л., Основы курса высшей математики – М., ГИЦВ, 2002.
Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Наука, В 2-х тт.1973 (или любое другое издание).
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х тт.-М.:Наука, 1970-1985.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. В 2-х ч.М. «Финансы и статиститка».2001.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (любое издание).
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1972 (или любое другое издание).
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.:Наука, 1980,1985.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.:Наука, 1992.
.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х тт. - М.:Наука, 1968 (или любое другое издание).
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. – М.: Наука., 1970 (или любое другое издание).
Цубербиллер Щ.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964. (или любое другое издание )
Шипачев В. П. Высшая математикаю – М.: Высшая школа, 1982-1990.