§ 12.2. Расчет валов и осей

При работе валы и вращающиеся оси даже при постоянной внешней нагрузке испытывают знакопеременные напряжения изгиба симметрич­ного цикла, следовательно, возможно усталостное разрушение валов и вращающихся осей. Чрезмерная деформация валов может нарушить нор­мальную работу зубчатых колес и подшипников, следовательно, основ­ными критериями работоспособности валов и осей являются сопротив­ление усталости материала и жесткость. Практика показывает, что разрушение валов быстроходных машин обычно происходит в результате усталости материала.

Для окончательного расчета вала необходимо знать его конструк­цию, тип и расположение опор, места приложения внешних нагрузок. Вместе с тем подбор подшипников можно осуществить только когда из­вестен диаметр вала. Поэтому расчет валов выполняется в два этапа: предварительный (проектный) и окончательный (проверочный).

Предварительный расчет валов. Проектный расчет производится только на кручение, причем для компенсации напряжений изгиба и дру­гих неучтенных факторов принимают значительно пониженные значения допускаемых напряжений кручения, например, для выходных участков валов редукторов = (0,025...0,03) σ_в, где σ_в — временное сопротивле­ние материала вала. Тогда диаметр вала определится из условия прочности

τ_к = М_к / (0,2d³ ) ≤ ,

откуда

d ≥ .

Полученное значение диаметра округляется до ближайшего стан­дартного размера согласно ГОСТ «Нормальные линейные размеры», ус­танавливающего четыре ряда основных и ряд дополнительных размеров; последние допускается применять лишь в обоснованных случаях. Так, из ряда R_a40 указанного стандарта в диапазоне от 16 до 100 мм предусмот­рены следующие основные нормальные линейные размеры: 16,17,18,19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 53, 56, 60, 63, 67,71,75,80,85,90,95,100.

Так как промышленность изготовляет подшипники качения с диа­метром отверстия 35, 55, 65, 70 мм в указанном диапазоне, то разрешает­ся использовать для цапф валов и осей эти дополнительные размеры.

При проектировании редукторов диаметр выходного конца ведущего вала можно принять равным диаметру вала электродвигателя, с которым вал редуктора будет соединен муфтой.

После установления диаметра выходного конца вала назначается диаметр цапф вала (несколько больше диаметра выходного конца) и про­изводится подбор подшипников. Диаметр посадочных поверхностей ва­лов под ступицы насаживаемых деталей для удобства сборки принимают больше диаметров соседних участков. В результате этого ступенчатый вал по форме оказывается близок к брусу равного сопротивления.

Расчетные схемы валов и осей (рис. 12.4, а—д). При составлении расчетной схемы валы и оси рассматривают как балки, шарнирно закреп­ленные в жестких опорах, одна из которых подвижная. Нагрузки, переда­ваемые валам и осям со стороны насаженных на них деталей, полагают сосредоточенными и приложенными в середине ступицы (рис. 12.4, д). Силы трения в подшипниках не учитывают, силами тяжести валов, осей и насаженных на них деталей обычно пренебрегают. Кроме того, в боль­шинстве случаев пренебрегают усилиями, растягивающими или сжи­мающими вал.

Оси координат на расчетной схеме следует направлять вдоль векто­ров основных внешних сил. Если угол между плоскостями действия внешних сил не превышает 30°, то эти силы на расчетной схеме можно совмещать в одну плоскость.

Радиальные реакции подшипников, а следовательно, и условные опоры полагают расположенными следующим образом (рис. 12.4): а — У подшипников скольжения на расстоянии 0,3...0,4 его длины от внутренне­го торца, так как вследствие деформаций валов и осей давление по длине подшипника распределено неравномерно; б — у радиальных подшипни­ков качения в середине их ширины; в, г — у радиально-упорных подшип­ников качения в точках О пересечения с осью вала нормали к площадке контакта в ее середине (размер а, определяющий расстояние точки О от клейменого торца подшипника, вычисляется по формулам в зависимости от размеров подшипника).

На рис. 12.5, а— е представлена расчетная схема ведущего вала ци­линдрического редуктора с косозубыми колесами, нагруженного вра­щающим моментом Т, окружной силой F_t, радиальной силой F_r и осевой силой F_a. Здесь же представлены эпюры изгибающих моментов в верти­кальной и горизонтальной плоскостях и эпюра крутящих моментов. Сум­марный изгибающий момент в любом сечении вала определяется как геометрическая сумма изгибающих моментов в горизонтальной и верти­кальной плоскостях по формуле

М_и = .

Одновременное действие изгибающего и крутящего моментов учи­тывается значением эквивалентного момента, например, по гипотезе наи­больших касательных напряжений

М_экв = .

Окончательный расчет валов. Проверочный расчет валов выпол­няется на усталость и жесткость (расчеты на колебания мы рассматривать не будем).

Упрощенный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что не только нормальные, но и касательные напряжения изменяются по симметричному (наиболее неблагоприятному) циклу.

Этот вид расчета дает неточность на несколько процентов в сторону увеличе­ния запаса прочности вала. Условие сопротивления усталости имеет вид

σ_экв = М_экв /(0,1d³) ≤ ,

где σ_экв — эквивалентное напряжение в проверяемом сечении; М_экв — эквивалентный момент; d — диаметр вала в этом сечении; — до­пускаемое напряжение на изгиб при симметричном цикле изменения на­пряжений (см. табл. 12.1).

Расчетный диаметр вала в проверяемом сечении определяется по формуле

d =

и сравнивается с принятым при конструировании вала диаметром.

Таблица 12.1

Материал	Временное сопротивление σв, МПа	Допускаемые напряже­ния, МПа
Углеродистая сталь	400 500 600 700	130 170 200 230	40 45 55 65
Легированная сталь	800 1000	270 330	75 90

Бели проверяемое сечение вала ослаблено шпоночной канавкой, то расчетный диаметр вала следует увеличить на 7... 10%.

Приведенные для проектного и проверочного расчета валов формулы и рекомендации используются и для расчета осей с учетом только нормальных напряжений изгиба, так как М_к = 0. Допускаемое напряжение [σ_и] для невращающихся и — для вращающихся осей выбирают по табл. 12.1.

Уточненный проверочный расчет валов на усталость исходит из предположения, что нормальные напряжения изменяются по симметрич­ному, а касательные — по асимметричному циклу. Этот расчет заключа­ется в определении фактического коэффициента запаса прочности в предположительно опасных сечениях с учетом характера изменения на­пряжений, влияния абсолютных размеров деталей, концентрации напря­жений, шероховатости и упрочнения поверхностей. Условие сопротивле­ния усталости имеет вид

s = s_σ + s_τ / ≥ ,

где s_σ, s_τ — коэффициенты запаса прочности по нормальным и касатель­ным напряжениям (их вычисление рассматривалось в сопротивлении ма­териалов); [s] — допускаемый коэффициент запаса прочности; для валов передач [s] ≥ 1,3.

В большинстве случаев можно ограничиться упрощенным прове­рочным расчетом валов. По известному эквивалентному напряжению в предположительно опасном сечении легко определить случаи, когда ус­ловия сопротивления усталости заведомо выполняются. Уточненный проверочный расчет на усталость производить нет необходимости, если

σ_экв ≤ / (К ) ≈ ,

где — предел выносливости гладкого образца при симметричном цикле нагружения; К — коэффициент снижения предела выносливости, определяемый по формуле

К = (К_σ / К_d + 1/К_F -1)/К_{υ ,}

где К_σ — эффективный коэффициент концентрации напряжений; K_d — коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения; K_F — коэффициент влияния шероховатости поверхности; K_υ — коэффициент влияния поверхностного упрочнения. Значения указанных коэффициен­тов приводятся в справочной литературе и учебниках для вузов.

Проверочный расчет на усталость ведется по номинальной длитель­но действующей нагрузке без учета кратковременных перегрузок (напри­мер, в период пуска или динамических и ударных воздействиях), повто­ряемость которых невелика и не может вызвать усталостное разрушение.

Расчет на статическую прочность. В случаях возможности воз­никновения кратковременных пиковых нагрузок для предупреждения остаточных деформаций проводится проверочный расчет на статиче­скую прочность по условию

Σ_{экв max} = К_п σ_экв ≤ σ_т / ,

где К_п — коэффициент перегрузки, равный отношению максимального момента двигателя к его номинальному значению (при наличии предо­хранительного устройства К_п зависит от момента, при котором срабаты­вает это устройство); σ_т — предел текучести материала; — допускае­мый коэффициент запаса прочности по пределу текучести. Обычно при­нимают = 1,2...1,8.

Расчет валов и осей на жесткость. Под действием приложенных активных и реактивных сил валы изгиба­ются и скручиваются. Де­формации валов при изгибе характеризуются прогибом у и углами поворота α попе­речных сечений (рис. 12.7). Деформация кручения вала характеризуется углом за­кручивания φ.

В результате прогиба и поворота сечений вала изменяется взаимное положение зубчатых венцов передач (рис. 12.7) и элементов подшипни­ков, что вызывает неравномерность распределения нагрузок по ширине венцов зубчатых колес и длине подшипников скольжения, перекос колец подшипников качения. Деформация кручения валов вызывает неравно­мерность распределения нагрузки по длине шлицев в шлицевых соедине­ниях по длине венцов валов — шестерен, может быть причиной потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков и причиной воз­никновения крутильных колебаний валов.

Деформация валов мало влияет на работу ременных и цепных пере­дач, поэтому валы таких передач на жесткость не проверяют. Короткие валы, например валы редукторов, на жесткость обычно не проверяют, так как прогибы и углы закручивания таких валов невелики и жесткость их обеспечена.

Условия жесткости валов записывают следующим образом:

у ≤ [у]; f ≤ ; α ≤ ; ≤ .

Здесь [у] — допускаемый прогиб (в месте установки зубчатых колес, [у] ≤ 0,01 т, где т — модуль зацепления); [ ] — допускаемая стрела про­гиба (для валов общего назначения в станкостроении [f] ≤ 0,0003l, где l — длина пролета); [α] — допускаемый угол поворота сечения вала (для подшипников скольжения [α] = 0,001 рад, для подшипников качения [α] ≤ 0,05 рад и в значительной мере зависит от типа подшипника; для

валов зубчатых передач для сечений в опорах [α] = 0,001 рад); —

допускаемый угол закручивания вала ( = 0,25... 1 град/м и зависит от требований и условий работы конструкции).

Условие жесткости осей записывается так:

f ≤ ,

здесь ≤ 0,002l, где l — расстояние между опорами.

Пример 12.1. Рассчитать ведущий вал цилиндрического редуктора с косозубыми колесами, расчетная схема которого представлена на рис. 12.5, а. Дано: диаметр дели­тельной окружности шестерни d₁ = 100 мм, b = 50 мм, с = 90 мм, радиальная сила F_r = 960 Н, осевая сила F_a = 370 Н, вращающий момент на валу T = 131 Н·м.

Решение. Из проектного расчета на кручение определим диаметр d_в выход­ного участка вала, приняв материал сталь 45 с временным сопротивлением σ_в = 730 МПа. Расчетный диаметр вала (учитывая, что М_к = Т) будет равен

d_в ≥ = = 0,032 м = 32 мм.

Принимаем диаметр цапф d =35 мм в соответствии со стандартом на под­шипники качения.

Диаметр свободных участков вала примем равным 40 мм, а посадочный диаметр вала под шестерню равным 45 мм.

Далее, выбрав оси координат, построим эпюры изгибающих моментов в вер­тикальной и горизонтальной плоскостях, эпюру крутящих моментов и определим эквивалентный момент в месте посадки шестерни (опасное сечение), предвари­тельно вычислив окружную силу:

F_t = 2T / d₁ = 2·131/0,1 = 2620 Н;

М_их = F_rcb/l + F_ad₁c/(2l) = 960 · 0,09 ·0,05/0,14 + 370 · 0,1 · 0,09/(2 · 0,14) = 42,7 Н·м;

М_иу = F_t cb/l = 2620 · 0,09 · 0,05/0,14 = 84,4 Н·м;

М_экв = = = 162 Н·м.

Приняв по табл. 12.1 допускаемое напряжение = 65 МПа, определим диаметр посадочного места из упрощенного проверочного расчета на усталость:

d = = = 0,0292 м = 29,2 мм.

Так как в месте посадки шестерни на валу будет шпоночный паз, то, увели­чив расчетный диаметр на 10%, в результате получим d_p ≈ 32 мм. Сравнивая расчетный диаметр с принятым из конструктивных соображений, видим, что со­противление усталости вала обеспечено со значительным запасом.

Еще более прочной будет конструкция, если шестерню изготовить за одно целое с валом. Конструкцию вала—шестерни, соответствующую этому примеру, см. на рис. 13.21.