3. Тесты Бокса-Кокса

Выше мы описали различные зависимости, поддающихся линеаризации с помощью подходящих преобразований переменных. Но решение вопроса о том, к какому именно из рассмотренных типов зависимостей следует отнести наш конкретный случай, является задачей не простой. Можно, конечно, действовать методом «проб и ошибок»: последовательно построить по имеющимся у нас исходным статистическим данным каждую из альтернативного набора линеаризуемых моделей, а затем выбрать из них наилучшую в смысле какого-либо «критерия качества» (например, по максимальному значению подправленной на несмещённость оценки коэффициента детерминации).

При рассмотрении альтернативных моделей с одним и тем же определением зависимой переменной предложенная выше процедура выбора достаточно проста и очевидна. Однако нельзя сравнивать, например, линейную и логарифмические модели. Значения lnY значительно меньше соответствующих значений Y, поэтому неудивительно, что остатки также значительно меньше, но это ничего не решает. Величина R² безразмерна, однако в двух уравнениях она относится к разным понятиям. В одном уравнении она измеряет объясненную регрессией долю дисперсии Y, а в другом – объясненную регрессией долю дисперсии lnY. Если для одной модели коэффициент R² значительно больше, чем для другой, то можно сделать оправданный выбор без особых раздумий, однако, если значения R² для двух моделей приблизительно равны, то проблема выбора существенно усложняется.

Английские статистики Г. Бокс и Д. Кокс предложили более формализованную процедуру подбора линеаризующего преобразования. Их метод основан на предположении, что искомое преобразование принадлежит к определенному однопараметрическому семейству преобразований вида

, . (6.61)

Гипотезу Бокса-Кокса можно сформулировать следующим образом: существует такое действительное значение ^*, что модель

(6.62)

будет удовлетворять всем требованиям нормальной классической регрессионной модели.

Замечание. Семейство степенных преобразований вида весьма широко и гибко. При =1 модель (6.57) является линейной. При =0 мы будем иметь степенную зависимость между Y и X, поскольку . При других значениях  уравнение (6.57) будет связывать между собой какие-то степени исходных переменных.

Таким образом, если исходить из справедливости гипотезы Бокса-Кокса, подбор линеаризующего преобразования анализируемых переменных сводится к оценке параметра  в формулах (6.61) по имеющимся в нашем распоряжении исходным статистическим данным. Обычно эта проблема решается с помощью метода максимально правдоподобия. Отыскивается такое значение ^*, при котором функция правдоподобия принимает максимальное значение. С этой целью определяется априорный диапазон возможных значений  (обычно от _min=–1 до _max=2), на этом диапазоне выбирается сетка значений  и для каждого такого значения последовательно вычисляются функции правдоподобия. То значение ^*, при котором функция правдоподобия принимает максимальное значение и будет определять искомое линеаризующее преобразование (6.61).

ЛЕКЦИЯ 6 117